【数据结构与算法——TypeScript】

树结构(Tree)

认识树结构以及特性

什么是树?

🌲 真实的树：相信每个人对现实生活中的树都会非常熟悉

🌲 我们来看一下树有什么特点？
▫️ 树通常有一个根。连接着根的是树干。
▫️ 树干到上面之后会进行分叉成树枝，树枝还会分叉成更小的树枝。
▫️ 在树枝的最后是叶子。
🌲 树的抽象：
🌳 专家们对树的结构进行了抽象，发现树可以模拟生活中的很多场景。

模拟树结构

• 公司组织架构
  

• 前端非常熟悉的DOM Tree
  
  

树结构的抽象

❤️‍🔥 我们再将里面的数据移除，仅仅抽象出来结构，那么就是我们要学习的树结构

树结构的优点和术语

树结构的优点

🖤 我们之前已经学习了多种数据结构来保存数据，为什么要使用树结构来保存数据呢？
🖤 树结构和数组/链表/哈希表的对比有什么优点呢？

💚 数组:
❤️ 优点:

• 数组的主要优点是根据下标值访问效率会很高。
• 但是如果我们希望根据元素来查找对应的位置呢？
• 比较好的方式是先对数组进行排序，再进行二分查找。
• 链表的插入和删除操作效率都很高。

💔 缺点:

• 需要先对数组进行排序，生成有序数组，才能提高查找效率。
• 另外数组在插入和删除数据时，需要有大量的位移操作（插入到首位或者中间位置的时候)，效率很低。

💚 链表:
❤️ 优点:

• 链表的插入和删除操作效率都很高。

💔 缺点:

• 查找效率很低，需要从头开始依次访问链表中的每个数据项，直到找到。
• 而且即使插入和删除操作效率很高，但是如果要插入和删除中间位置的数据，还是需要重头先找到对应的数据。

💚 哈希表:
❤️ 优点:

• 我们学过哈希表后，已经发现了哈希表的插入/查询/删除效率都是非常高的。
• 但是哈希表也有很多缺点。。

💔 缺点:

• 空间利用率不高，底层使用的是数组，并且某些单元是没有被利用的。
• 哈希表中的元素是无序的，不能按照固定的顺序来遍历哈希表中的元素。
• 不能快速的找出哈希表中的最大值或者最小值这些特殊的值。

💚 树结构:
❤️ 优点:

• 我们不能说树结构比其他结构都要好，因为每种数据结构都有自己特定的应用场景。
• 但是树确实也综合了上面的数据结构的优点（当然优点不足于盖过其他数据结构，比如效率一般情况下没有哈希表高）。
• 并且也弥补了上面数据结构的缺点。。

💚 而且为了模拟某些场景，我们使用树结构会更加方便。

• 因为数结构的非线性的，可以表示一对多的关系
• 比如文件的目录结构。

树的术语

• 💚 在描述树的各个部分的时候有很多术语。

  • 为了让介绍的内容更容易理解，需要知道一些树的术语。
  • 不过大部分术语都与真实世界的树相关，或者和家庭关系相关（如父节点和子节点），所以它们比较容易理解。

• ❤️‍🔥 树(Tree):n(n≥0)个节点构成的有限集合。

  • 当n=0时，称为空树；

• 对于任一棵非空树(n>0),它具备以下性质：

  • 树中有一个称为“根(Root)”的特殊节点，用r表示；
  • 其余节点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,Tm,其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的子树(SubTree)。
    

• 🌲 树的术语

  1. 节点的度(Degree):节点的子树个数。
  2. 树的度(Degree):树的所有节点中最大的度数。
  3. 叶节点(Leaf):度为0的节点。（也称为叶子节点）
  4. 父节点(Parent):有子树的节点是其子树的根节点的父节点
  5. 子节点(Child):若A节点是B节点的父节点，则称B节点是A节点的子节点；子节点也称孩子节点。
  6. 兄弟节点(Sibling):具有同一父节点的各节点彼此是兄弟节点。
  7. 路径和路径长度：从节点n1到nk的路径为一个节点序列n1,n2,nk
     • ni是n(i+1)的父节点
     • 路径所包含边的个数为路径的长度。
  8. 节点的层次(Level):规定根节点在1层，其它任一节点的层数是其父节点的层数加1。
  9. 树的深度(Depth):对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0。
  10. 树的高度(Height):对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0。
      

普通的表示方式

• 最普通的表示方式
  

• 儿子-兄弟表示法

• 儿子-兄弟表示法旋转

• 其实所有树本质上都可以用二叉树模拟出来

二叉树特性以及概念

二叉树的概念

• 如果树中每个节点最多只能有两个子节点，这样的树就成为 “二叉树”。
  • 前面，我们已经提过二叉树的重要性，不仅仅是因为简单，也因为几乎上所有的树都可以表示成二叉树的形式。
• 💚 二叉树的定义
  • 二叉树可以为空，也就是没有节点。
  • 若不为空，则它是由根节点 和 称为其 左子树TL和 右子树TR 的两个不相交的二叉树组成。
• 二叉树有五种形态：
  

二叉树的特性

• 二叉树有几个比较重要的特性，在笔试题中比较常见：
  • 一颗二叉树第 i 层的最大节点数为：2^(i-1)，i >= 1;
  • 深度为k的二叉树有最大节点总数为： 2^k - 1，k >= 1;
• 对任何非空二叉树T，若n0表示叶节点的个数、n2是度为2的非叶节点个数，那么两者满足关系 n0 = n2 + 1。

完美二叉树

• 完美二叉树(Perfect Binary Tree) ，也称为满二叉树(Full Binary Tree）
  • 在二叉树中，除了最下一层的叶节点外，每层节点都有2个子节点，就构成了满二叉树。

完全二叉树

• 完全二叉树(Complete Binary Tree)

  • 除二叉树最后一层外，其他各层的节点数都达到最大个数。
  • 且最后一层从左向右的叶节点连续存在，只缺右侧若干节点。
  • 完美二叉树是特殊的完全二叉树。

  

• 下面不是完全二叉树，因为D节点还没有右节点，但是E节点就有了左右节点。

  

二叉树常见存储方式

🟢 二叉树的存储常见的方式是数组和链表

使用数组

• 完全二叉树：按从上至下、从左到右存储

  

• 非完全二叉树：

  • 非完全二叉树要转成完全二叉树才可以按照上面的方案存储
  • 但，会造成很大的空间浪费

  

使用链表

• 二叉树最常见的方式还是使用链表存储
  • 每个节点封装成一个Node，Node中包含存储的数据，左节点的引用，右节点的引用。
    

认识二叉搜索树特性

什么是二叉搜索树？

• 🟢 二叉搜索树（BST,Binary Search Tree），也称 二叉排序树或 二叉查找树。

• 二叉搜索树是一颗二叉树，可以为空

• 如果部位空，满足以下性质：

  • 1. 非空左子树的所有键值小于其根节点的键值
  • 2. 非空右子树的所有键值大于其根节点的键值
  • 3. 左、右子树本身也都是二叉搜索树

• 下面哪些是二叉搜索树，哪些不是？

  

• 💡 二叉搜索树的特点：

  • ✅ 二叉搜索树的特点就是相对 较小的值总是保存在左节点上，相对较大的值总是保存在 右节点上
  • ✅ 查找效率高，这也是二叉搜索树中，搜索的来源

二叉搜索树

• 下面是一个二叉搜索树

  

• 试着 查找一下值为10的节点

• ⭕️ 这种方式就是二分查找的思想：
  • 查找所需的最大次数 等于 二叉搜索树的深度。
  • 插入节点时，也 利用类似的方法，一层层比较大小，找到新节点合适的位置。

二叉搜索树类的封装

• 💡 先封装一个BSTree的类

  

• 👩🏻‍💻 代码解析

  • 封装一个BSTree的类
  • 还需要封装一个用于保存每一个节点的类 Node
  • 该类包含三个属性：节点对应的value、指向的左子节点树left、指向的右子节点树right
  • 对于BSTree来说，只需要保存根节点即可，因为其他节点都可以通过根节点找到

• 代码

    import { Node } from '../types/INode';class IBSTreeNode<T> extends Node<T> {left: IBSTreeNode<T> | null = null;right: IBSTreeNode<T> | null = null;}class BSTree<T> {root: IBSTreeNode<T> | null = null;}export {};

    export class Node<T> {value: T;constructor(value: T) {this.value = value;}}

二叉搜索树插入操作

• 二叉搜索树常见操作

1. 插入操作

🔶 insert (value):向树中插入一个新的数据。

2. 查找操作

🔶 search (value):在树中查找一个数据，如果节点存在，则返回true;如果不存在，则返回false 。
🔶 min:返回树中最小的值/数据。
🔶 max:返回树中最大的值/数据。

3. 遍历操作

🔶 inOrderTraverse :通过中序遍历方式遍历所有节点。
🔶 preOrderTraverse :通过先序遍历方式遍历所有节点。
🔶 postOrderTraverse :通过后序遍历方式遍历所有节点。
🔶 levelOrderTraverse :通过层序遍历方式遍历所有节点。

4. 删除操作（有一点点复杂）

🔶 remove (value):从树中移除某个数据。

向树中插入数据：分两部分

• 首先，外界调用的 insert 方法

  • 👩🏻‍💻 代码解析：
    • 首先，根据传入的value ,创建对应的Node。
    • 其次，向树中插入数据需要分成两种情况：
      • 第一次插入，直接修改根节点即可。
      • 其他次插入，需要进行相关的比较决定插入的位置。
    • 在代码中的insertNode方法，我们还没有实现，也是我们接下来要完成的任务。

• 其次，插入非根节点

  • 👩🏻‍💻 代码解析：
    • 插入其他节点时，我们需要判断该值到底是插入到左边还是插入到右边。
    • 判断的依据来自于新节点的value 和原来节点的value值的比较。
      • 如果新节点的newvalue 小于原节点的oldvalue ,那么就向左边插入。
      • 如果新节点的newvalue 大于原节点的oldvalue ,那么就向右边插入。
    • 代码的1序号位置，就是准备向左子树插入数据。但是它本身又分成两种情况
      • 情况一（代码1.1位置）：左子树上原来没有内容，那么直接插入即可。
      • 情况二（代码1.2位置）：左子树上已经有了内容，那么就一次向下继续查找新的走向，所以使用递归调用即可。
    • 代码的2序号位置，和1序号位置几乎逻辑是相同的，只是是向右去查找。
      • 情况一（代码2.1位置）：左右树上原来没有内容，那么直接插入即可。
      • 情况二（代码2.2位置）：右子树上已经有了内容，那么就一次向下继续查找新的走向，所以使用递归调用即可。

• 代码：

    // 插入private insertNode(node: BSTreeNode<T>, newNode: BSTreeNode<T>) {if (newNode.value < node.value) {// 在左子树节点插入 : 查找空白位置if (node.left === null) {node.left = newNode;} else {this.insertNode(node.left, newNode);}} else {//  在右子节点查找空白位置if (node.right === null) {node.right = newNode;} else {this.insertNode(node.right, newNode);}}}insert(value: T): boolean {//   1. 根据value创建TreeNode节点const newNode = new BSTreeNode(value);//   2. 判断是否有根节点if (!this.root) {//当前树为空this.root = newNode;} else {// 递归this.insertNode(this.root, newNode);}return false;}  
  

    // 打印树结构import { btPrint } from 'hy-algokit';// 打印树结构print() {btPrint(this.root);}
  

    // 测试代码const bst = new BSTree<number>();bst.insert(11);bst.insert(7);bst.insert(15);bst.insert(5);bst.insert(3);bst.insert(9);bst.insert(8);bst.insert(10);bst.insert(13);bst.insert(12);bst.insert(14);bst.insert(20);bst.insert(18);bst.insert(25);bst.insert(6);bst.print();

遍历二叉搜索树

前面，我们向树中插入了很多的数据，为了能很多的看到测试结果。我们先来学习一下树的遍历。

• ❗️ 注意：这里我们学习的树的遍历，针对所有的二叉树都是适用的，不仅仅是二叉搜索树。
• ❤️‍🔥 树的遍历：
  • 遍历一棵树是指访问树的每个节点(也可以对每个节点进行某些操作，我们这里就是简单的打印)
  • 但是树和线性结构不太一样，线性结构我们通常按照从前到后的顺序遍历，但是树呢？
  • 应该从树的顶端还是底端开始呢？ 从左开始还是从右开始呢？
• 二叉树的遍历常见的有四种方式：
  • 先序遍历
  • 中序遍历
  • 后序遍历
  • 层序遍历

先序遍历 preOrderTraverse

• 遍历过程为：
  1. 优先访问根节点；
  2. 之后访问其左子树；
  3. 再访问其右子树。

  private preOrderTraverseNode(node: BSTreeNode<T> | null) {if (node) {console.log(node.value);this.preOrderTraverseNode(node.left);this.preOrderTraverseNode(node.right);}}preOrderTraverse() {this.preOrderTraverseNode(this.root);}

中序遍历 inOrderTraverse

• 遍历过程为：
  1. 中序遍历其左子树；
  2. 访问根节点；
  3. 中序遍历其右子树。

  private inOrderTraverseNode(node: BSTreeNode<T> | null) {if (node) {this.inOrderTraverseNode(node.left);console.log(node.value);this.inOrderTraverseNode(node.right);}}inOrderTraverse() {this.inOrderTraverseNode(this.root);}

后序遍历 postOrderTraverse

• 遍历过程为：
  1. 后序遍历其左子树；
  2. 后序遍历其右子树；
  3. 访问根节点。

  private postOrderTraverseNode(node: BSTreeNode<T> | null) {if (node) {this.postOrderTraverseNode(node.left);this.postOrderTraverseNode(node.right);console.log(node.value);}}postOrderTraverse() {this.postOrderTraverseNode(this.root);}

层序遍历 levelOrderTraverse

• 遍历过程为：
  1. 层序遍历很好理解，就是从上向下逐层遍历。
  2. 层序遍历通常我们会借助于队列来完成；
     ✓ 也是队列的一个经典应用场景；

• 代码分析
  • 使用队列 ： 遍历整个队列
  • 访问队列中的出队元素
  • 将出队的节点的左子节点和右子节点分别加入队列

  levelOrderTraverse() {// 1. 如果没有根节点，那么不需要遍历if (!this.root) return;// 2. 创建一个队列const queue: BSTreeNode<T>[] = [];// 队列中第一个节点是根节点queue.push(this.root);// 3. 遍历队列的长度while (queue.length) {// 弹出队列中当前元素const current = queue.shift()!;console.log(current.value);// 将当前元素的左子节点和右子节点添加到队列if (current.left) {queue.push(current.left);}if (current.right) {queue.push(current.right);}}}

获取最大值和最小值

  getMaxValue(): T | null {let current = this.root;while (current && current.right) {current = current.right;}return current?.value ?? null;}

  getMinValue(): T | null {let current = this.root;while (current && current.left) {current = current.left;}return current?.value ?? null;}

search搜索特定的值

• 二叉搜索树不仅仅获取最值效率非常高，搜索特定的值效率也非常高。

  • ❗️注意：这里的实现返回boolean类型即可。

• 💻 代码解析：

  • 这里我们还是使用了递归的方式。
  • 递归必须有退出条件，我们这里是两种情况下退出。
    1. node === null，也就是后面不再有节点的时候。
    2. 找到对应的value，也就是node.value === value的时候。
  • 在其他情况下，根据node.的value和传入的value进行比较来决定向左还是向右查找。
    1. 如果node.value > value，那么说明传入的值更小，需要向左查找。
    2. 如果node.value < value，那么说明传入的值更大，需要向右查找。

• 代码：

  // 搜索特定值private searchNode(node: BSTreeNode<T> | null, value: T): boolean {// 如果node为空if (node === null) return false;// 判断node节点的value和valueif (node.value < value) {return this.searchNode(node.right, value);} else if (node.value > value) {return this.searchNode(node.left, value);} else {return true;}}search(value: T): boolean {return this.searchNode(this.root, value);}

二叉搜索树的删除

二叉搜索树的删除有些复杂，我们一点点完成。

• 删除节点要从查找要删的节点开始，找到节点后，需要考虑三种情况：

  1. 该节点是叶节点(没有字节点，比较简单)
  2. 该节点有一个子节点(也相对简单)
  3. 该节点有两个子节点.(情况比较复杂)

• 我们先从查找要删除的节点入手

  1. 先找到要删除的节点，如果没有找到，不需要删除
  2. 找到要删除节点
     1. 删除叶子节点
     2. 删除只有一个子节点的节点
     3. 删除有两个子节点的节点

• 👩🏻‍💻 代码分析：

  1. 搜索节点，节点是否存在
     1. 不存在，不需要任何操作
  2. 删除的节点是一个叶子结点
     • 拿到当前叶子结点的父节点parent：判断是左子节点还是右子节点
     • parent.left = null
     • parent.right = null
  3. 删除的节点有一个子节点
  4. 删除的节点有两个子节点

class BSTreeNode<T> extends Node<T> {...parent: BSTreeNode<T> | null = null;get isLeft(): boolean {return !!(this.parent && this.parent.left === this);}get isRight(): boolean {return !!(this.parent && this.parent.right === this);}
}

// 重构searchNodeprivate searchNode(value: T): BSTreeNode<T> | null {let current = this.root;let parent: BSTreeNode<T> | null = null;while (current) {// 如果找到current，直接返回if (current.value === value) return current;// 继续往下找parent = current;if (current.value < value) {current = current.right;} else {current = current.left;}// 如果current有值，那么current保存自己的父节点if (current) {current.parent = parent;}}return null;}

  remove(value: T): boolean {// 1. 搜索：当前要删除的值const current = this.searchNode(value);//   1.1 节点不存在，不需要任何操作if (!current) return false;return true;}

情况一：没有子节点

• 情况一：没有子节点

  • 这种情况相对比较简单，我们需要检测current的left以及right是否都为null.
  • 都为null之后还要检测一个东西，就是是否current就是根，都为null，并且为跟根，那么相当于要清空二叉树(当然，只是清空了根，因为只有它).
  • 否则就把父节点的left或者right字段设置为null即可.

• 如果只有一个单独的根，直接删除即可

• 如果是叶节点，那么处理方式如下：

  

  remove(value: T): boolean {// 2.获取三个元素：当前节点、当前节点父节点、是属于左子节点/右子节点// console.log('当前节点:', current.value, '当前节点父节点:', current.parent?.value);// 2. 删除的节点是一个叶子结点if (current.left === null && current.right === null) {if (current === this.root) {// 如果只有一个单独的根，直接删除即可this.root = null;} else if (current.isLeft) {// 父节点的左子节点current.parent!.left = null;} else {current.parent!.right = null;}return true;}return true;}

情况二：有一个子节点

• 情况二：有一个子节点
  • 要删除的current节点，只有2个连接(如果有两个子节点，就是三个连接了)，一个连接父节点，一个连接唯一的子节点.
  • 需要从这三者之间：爷爷 - 自己 - 儿子，将自己(current)剪短，让爷爷直接连接儿子即可.
  •  这个过程要求改变父节点的left或者right，指向要删除节点的子节点.
  • 当然，在这个过程中还要考虑是否current就是根.
• 分析：
  • 如果是根的情况，比较简单.
  • 如果不是根，并且只有一个子节点的情况.

  remove(value: T): boolean {// 3. 有一个子节点// 3.1 只有左子节点else if (current.right === null) {if (current === this.root) {this.root = current.left;} else if (current.isLeft) {current.parent!.left = current.left;} else {current.parent!.right = current.left;}}// 3.2 只有右子节点else if (current.left === null) {if (current === this.root) {this.root = current.right;} else if (current.isLeft) {current.parent!.left = current.right;} else {current.parent!.right = current.right;}}return true;}

情况三：两个子节点

💡 看下面的集中情况你怎么处理？

• 情况一：删除9节点
  • 处理方式相对简单，将8位置替换到9，或者将10位置替换到9
  • 注意：这里我说的是替换也就是8位置替换到9时7指向8，而8还需要指向10。
  • 画图分析

• 情况二：删除7节点
  • 一种方式是将5拿到7的位置，3依然指向5，但是5有一个right需要指向9。依然是二义搜索树，没有问题
  • 另一种方式是在右侧找一个，找谁？8
  • 也就是将8替换到7的位置，8的left指向5，right 指向9依然是二叉搜索树，没有问题
  • 画图
    -
• 情况三：删除15节点，并且我希望也在右边找
  • 你找到的是谁？其实我们观察一下你能找到18
  • 18替换15的位置，20的left指向19。也是一个二叉搜索树，也没有问题
  • 画图
    

寻找规律

如果我们要删除的节点有两个子节点，甚至子节点还有子节点，这种情况下我们需要从下面的子节点中找到一个节点，来替换当前的节点.

• 但是找到的这个节点有什么特征呢？ ❤️‍🔥 应该是current节点下面所有节点中最接近current节点的.
  • 要么比current节点小一点点，要么比current节点大一点点。
  • 总结你最接近current，你就可以用来替换current的位置.
• ❤️‍🔥 这个节点怎么找呢？
  • 比current小一点点的节点，一定是current左子树的最大值。
  • 比current大一点点的节点，一定是current右子树的最小值。
• 前驱&后继
  • 在二叉搜索树中，这两个特别的节点，有两个特别的名字。
  • 比current小一点点的节点，称为current节点的前驱。
  • 比current大一点点的节点，称为current节点的后继。
• 也就是为了能够删除有两个子节点的current，要么找到它的前驱，要么找到它的后继。
• 所以，接下来，我们先找到这样的节点(前驱或者后继都可以，我这里以找后继为例)

删除两个子节点代码

// 获取右子树private getSuccessor(delNode: BSTreeNode<T>): BSTreeNode<T> {// 获取右子树let current = delNode.right;let successor: BSTreeNode<T> | null = null;while (current) {successor = current;current = current.left;if (current) {current.parent = successor;}}// 如果拿到了后继节点// console.log('删除节点:', delNode.value, '后继节点：', successor?.value);if (successor !== delNode.right) {successor!.parent!.left = successor!.right;successor!.right = delNode.right;}//一定： 将删除节点的left，赋值给后继节点的leftsuccessor!.left = delNode.left;return successor!;}

  remove(value: T): boolean {// 4. 有两个子节点else {const successor = this.getSuccessor(current);if (current === this.root) {this.root = successor;} else if (current.isLeft) {current.parent!.left = successor;} else {current.parent!.right = successor;}}return true;}

树的平衡性

• 为了能以较快的时间O(logN)来操作一棵树，我们需要保证树总是平衡的：
  • 至少大部分是平衡的，那么时间复杂度也是接近O(logN)的
  • 也就是说树中每个节点左边的子孙节点的个数，应该尽可能的等于右边的子孙节点的个数。
• 常见的平衡树有哪些呢？
  • AVL树：
    • AVL树是最早的一种平衡树。它有些办法保持树的平衡(每个节点多存储了一个额外的数据)
    • 因为AVL树是平衡的，所以时间复杂度也是O(logN)。
    • 但是，每次插入/删除操作相对于红黑树效率都不高，所以整体效率不如红黑树
  • 红黑树：
    • 红黑树也通过一些特性来保持树的平衡。
    • 因为是平衡树，所以时间复杂度也是在O(logN)。
    • 另外插入/删除等操作，红黑树的性能要优于AVL树，所以现在平衡树的应用基本都是红黑树。

【数据结构与算法——TypeScript】 系列

1 、【数据结构与算法——TypeScript】数组、栈、队列、链表
2 、【数据结构与算法——TypeScript】算法的复杂度分析、 数组和链表的对比
3 、【数据结构与算法——TypeScript】哈希表