割边：dfn[u]<low[v]

割点：dfn[u]<=low[v] (若为根节点，要有两个v这样的点)

一.知识点：

1.连通：

在图论中，连通性是指一个无向图中的任意两个顶点之间存在路径。如果对于图中的任意两个顶点 u 和 v，存在一条路径从 u 到 v，那么图被称为连通图。如果图不是连通的，那么它可以被分为多个连通分量，每个连通分量都是一个连通子图。

2.割点:

割点（Cut Vertex），也称为关节点或割顶，是指在无向图中，如果移除该顶点及其相连的边，会导致图不再连通，那么该顶点就被称为割点。

3.割边：

割边（Cut Edge），也称为桥，是指在无向图中，如果移除该边，会导致图不再连通，那么该边就被称为割边。

割边在图中起到了连接不同连通分量的作用，其移除会导致图的连通性发生变化。

 4.tarjan算法：（选择性阅读）

 Tarjan算法是一种用于寻找有向图中强连通分量（Strongly Connected Components，简称SCC）的算法，由Robert Tarjan在1972年提出。强连通分量是指在有向图中，任意两个顶点之间存在双向路径。

Tarjan算法使用深度优先搜索（DFS）来遍历图，并通过维护一个栈和一些辅助数据结构来识别强连通分量。算法的基本思想是通过DFS遍历图中的每个顶点，并为每个顶点记录其访问次序（Discovery Time）和能够回溯到的最早的祖先顶点（Lowest Ancestor）。通过这些信息，可以识别出具有相同祖先的顶点集合，即一个强连通分量。

Tarjan算法的步骤如下：

1. 对图中的每个顶点进行深度优先搜索（DFS）遍历。
2. 在DFS遍历的过程中，为每个顶点记录其访问次序和最早祖先顶点。
3. 将已访问的顶点入栈。
4. 当DFS遍历回溯到一个顶点时，检查该顶点的最早祖先顶点。如果最早祖先顶点是自身，则将栈中的顶点弹出，并将这些顶点构成一个强连通分量。
5. 重复步骤3和步骤4，直到遍历完所有的顶点。

Tarjan算法的时间复杂度为O(V+E)，其中V是顶点数，E是边数。它是一种高效的算法，常被用于解决与强连通分量相关的问题，如图的缩点、强连通分量的数量和结构等。

总之，Tarjan算法是一种用于寻找有向图中强连通分量的算法，通过DFS遍历和栈的运用，可以高效地找到图中的所有强连通分量。

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二.讲解 

在此之前，先介绍两个数组；

int dfn[];里面存放访问顺序（时间戳）；

int low[];里面存放追溯值（即祖先节点最小的dfn）

（1）割边

tarjan提出：（证明可以自行百度）

当dfn[u]<low[v]时，连接这两条点的边为割边（重边要特殊处理，后面介绍）

（2）割点

tarjan提出：（证明可以自行百度）

当dfn[u]<=low[v]时，u这个点为割点（若为根节点，要有两个v这样符合条件的点）

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三.割边

（1）题目

题目描述：

找出割边

输入：

第一行输入两个整数n和m，表示点和边的个数。

第i(2<=i<=2+m)行,每行输出两个数字，表示一条边的两个点。

输出：

割边

样例输入：

6 7
1 2
1 3
2 4 
2 5
3 4
4 5
4 6

样例输出：

4---6

（2）初代码 

/*
6 7
1 2
1 3
2 4 
2 5
3 4
4 5
4 6
*/#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,m;
struct Edge{int u,v,next;
}edge[maxn<<1];
int cnt,head[maxn];
void add(int u,int v){edge[++cnt]=(Edge){u,v,head[u]}; head[u]=cnt;
}
int num,dfn[maxn],low[maxn];
void tarjan(int u,int fa){dfn[u]=low[u]=++num;for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;if(v==fa) continue;if(dfn[v]==0){tarjan(v,u);low[u]=min(low[u],low[v]);if(dfn[u]<low[v]){ //割边条件 ，若>则表示v不止和u相连 cout<<u<<"----"<<v<<endl; }}else{low[u]=min(low[u],dfn[v]);}}
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);int u,v;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&u,&v);add(u,v); add(v,u);}tarjan(1,0);return 0;
}

（3）bug与解答

1.若这张图有多个连通分量怎么办？

答：遍历即可

	for(int i=1;i<=n;i++){if(dfn[i]==0)  tarjan(1,0);}

2.若有重边怎么办？结果显然不对。

答：只continue，第二次让这段代码运行

然后就无法满足 dfn[u]<low[v]条件了

		if(v==fa){k++; //防止重边 if(k==1) continue;} 

（4）最终代码

/*
6 7
1 2
1 3
2 4 
2 5
3 4
4 5
4 6
*/#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,m;
struct Edge{int u,v,next;
}edge[maxn<<1];
int cnt,head[maxn];
void add(int u,int v){edge[++cnt]=(Edge){u,v,head[u]}; head[u]=cnt;
}
int num,dfn[maxn],low[maxn];
void tarjan(int u,int fa){int k=0;dfn[u]=low[u]=++num;for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;if(v==fa){k++; //防止重边 if(k==1) continue;} if(dfn[v]==0){tarjan(v,u);low[u]=min(low[u],low[v]);if(dfn[u]<low[v]){ //割边条件 ，若>则表示v不止和u相连 cout<<u<<"---"<<v<<endl; }}else{low[u]=min(low[u],dfn[v]);}}
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);int u,v;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&u,&v);add(u,v); add(v,u);}//防止本来就有不连通的 for(int i=1;i<=n;i++){if(dfn[i]==0)  tarjan(1,0);}return 0;
}

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四.割点

其实只是微改动一下即可。其次就是可以优化一下。函数传参只需要传u，无需判断是否为父节点。因为不会影响结果。（自行参考代码推理）

再次强调：若为根节点，要有两个v这样的点！

参考代码：

/*
6 7
1 2
1 3
2 4 
2 5
3 4
4 5
4 6
*/#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,m;
struct Edge{int u,v,next;
}edge[maxn<<1];
int cnt,head[maxn];
void add(int u,int v){edge[++cnt]=(Edge){u,v,head[u]}; head[u]=cnt;
}
int num,dfn[maxn],low[maxn],root;
void tarjan(int u){dfn[u]=low[u]=++num;int flag=0;for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;if(dfn[v]==0){tarjan(v);low[u]=min(low[u],low[v]);if(dfn[u]<=low[v]){ //割点条件 if(u!=root || flag>1) cout<<u<<" ";}}else{low[u]=min(low[u],dfn[v]);}}
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);int u,v;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&u,&v);add(u,v); add(v,u);}//防止本来就有不连通的 for(int i=1;i<=n;i++){if(dfn[i]==0){root=i;tarjan(i);} }return 0;
}