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2021牛客OI赛前集训营-提高组（第四场）

题目大意

有一棵$n+1$个节点的树，根节点为0。给你一个$k$，定义集合Si={j∈Z∣max⁡(1,i−k)≤j<i}∪{0}S_i=\{j\in Z|\max(1,i-k)\leq j<i\}\cup\{0\}Si​={j∈Z∣max(1,i−k)≤j<i}∪{0}。

$A_i=\sum _{j\in S_i}dis(i,j{)}^2$，$dis(i,j)$指$i$到$j$在树上的距离。求$A_1,A_2,\dots ,A_n$分别是多少。

题解

令$a_i$表示$i$在树上的深度，注意根节点的深度为1。

那么$dis(i,j{)}^2=(a_i+a_j-2a_{lca}{)}^2=a_i^2+a_j^2+2a_i{a}_j-4a_{lca}{a}_i-4a_{lca}{a}_j+4a_{lca}^2$

我们可以枚举$i$，用树链剖分来维护$j$的值。

对于$a_i^2$，可以直接得出。

对于$a_j^2$，将所有在$S_i$中的$j$求前缀和即可。

对于$2a_i{a}_j$，对$a_j$求前缀和，再乘上$2a_i$。

对于$4a_{lca}{a}_i$，对每个$S_i$中的$j$，都将$j$到根节点的路径上的点加1，然后查询$i$到根节点的路径上的对应值的和，再乘上$4a_i$即可。

对于$4a_{lca}{a}_j$，对每个$S_i$中的$j$，都将$j$到根节点的路径上的点加$a_j$，然后查询$i$到根节点的路径上的对应值的和，再乘上$4$即可。

对于$4a_{lca}^2$，对每个$S_i$中的$j$，都将$j$到根节点的路径上的点加$a_k\ast 2-1$（$k$表示当前节点），然后查询$i$到根节点的路径上的对应值的和，因为$x^2=1+3+5+\cdots +(x\ast 2-1)$，所以这样求出的就是$a_{lca}^2$，然后乘$4$即可。

对于$j$进入集合或离开集合，在$j$到根节点的路径上进行区间修改即可。

为什么根节点的深度为1而不为0呢？因为只有根节点的深度为1，那么每个点到根节点的路径的长度才能等于这个点的深度，这样才能更好地实现。

时间复杂度为$O(n{\log }^{2}n)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define lc k<<1
#define rc k<<1|1
using namespace std;
int n,k,x,y,tot=0,d[500005],l[500005],r[500005],dep[500005],fa[500005],siz[500005],son[500005];
int tp[200005],s[200005],re[200005];
long long ans,hv1[800005],hv2[800005],mx1[800005],mx2[800005],mx3[800005],ly1[800005],ly2[800005],ly3[800005];
void add(int xx,int yy){l[++tot]=r[xx];d[tot]=yy;r[xx]=tot;
}
void dfs1(int u,int f){fa[u]=f;dep[u]=dep[f]+1;siz[u]=1;for(int i=r[u];i;i=l[i]){if(d[i]==f) continue;dfs1(d[i],u);siz[u]+=siz[d[i]];if(siz[d[i]]>siz[son[u]]) son[u]=d[i];}
}
void dfs2(int u,int f){if(son[u]){tp[son[u]]=tp[u];s[son[u]]=++s[0];re[s[0]]=son[u];dfs2(son[u],u);}for(int i=r[u];i;i=l[i]){if(d[i]==f||d[i]==son[u]) continue;tp[d[i]]=d[i];s[d[i]]=++s[0];re[s[0]]=d[i];dfs2(d[i],u);}
}
void build(int k,int l,int r){if(l==r){hv1[k]=2ll*dep[re[l]]-1;hv2[k]=1ll;return;}int mid=l+r>>1;build(lc,l,mid);build(rc,mid+1,r);hv1[k]=hv1[lc]+hv1[rc];hv2[k]=hv2[lc]+hv2[rc];
}
void down(int k){mx1[lc]+=ly1[k]*hv1[lc];ly1[lc]+=ly1[k];mx2[lc]+=ly2[k]*hv2[lc];ly2[lc]+=ly2[k];mx3[lc]+=ly3[k]*hv2[lc];ly3[lc]+=ly3[k];mx1[rc]+=ly1[k]*hv1[rc];ly1[rc]+=ly1[k];mx2[rc]+=ly2[k]*hv2[rc];ly2[rc]+=ly2[k];mx3[rc]+=ly3[k]*hv2[rc];ly3[rc]+=ly3[k];ly1[k]=ly2[k]=ly3[k]=0;
}
void ch(int k,int l,int r,int x,int y,long long t,int u){if(l>=x&&r<=y){mx1[k]+=t*hv1[k];ly1[k]+=t;mx2[k]+=t*hv2[k];ly2[k]+=t;mx3[k]+=t*dep[u]*hv2[k];ly3[k]+=t*dep[u];return;}if(l>y||r<x) return;if(l==r) return;if(ly1[k]||ly2[k]||ly3[k]) down(k);int mid=l+r>>1;if(x<=mid) ch(lc,l,mid,x,y,t,u);if(y>mid) ch(rc,mid+1,r,x,y,t,u);mx1[k]=mx1[lc]+mx1[rc];mx2[k]=mx2[lc]+mx2[rc];mx3[k]=mx3[lc]+mx3[rc]; 
}
void find(int k,int l,int r,int x,int y,int u){if(l>=x&&r<=y){ans+=4ll*(mx1[k]-mx2[k]*dep[u]-mx3[k]);return;}if(l>y||r<x) return;if(l==r) return;if(ly1[k]||ly2[k]||ly3[k]) down(k);int mid=l+r>>1;if(x<=mid) find(lc,l,mid,x,y,u);if(y>mid) find(rc,mid+1,r,x,y,u);
}
void ask(int i){int t=i;while(i>=1){find(1,1,s[0],s[tp[i]],s[i],t);i=fa[tp[i]];}
}
void ins(int i){int t=i;while(i>=1){ch(1,1,s[0],s[tp[i]],s[i],1,t);i=fa[tp[i]];}
}
void del(int i){int t=i;while(i>=1){ch(1,1,s[0],s[tp[i]],s[i],-1,t);i=fa[tp[i]];}
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&k);++n;for(int i=1;i<n;i++){scanf("%d%d",&x,&y);++x;++y;add(x,y);add(y,x);}dfs1(1,0);s[1]=++s[0];re[s[0]]=1;tp[1]=1;dfs2(1,0);build(1,1,s[0]);long long sum1=0,sum2=0;for(int i=2,vt,vk=2;i<=n;i++){vt=max(2,i-k);while(vk<vt){sum1-=1ll*dep[vk]*dep[vk];sum2-=1ll*dep[vk];del(vk);++vk;}ans=1ll*(dep[i]-1)*(dep[i]-1)+1ll*(i-vt)*dep[i]*dep[i]+sum1+2ll*dep[i]*sum2;ask(i);printf("%lld\n",ans);sum1+=1ll*dep[i]*dep[i];sum2+=1ll*dep[i];ins(i);}return 0;
}