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实现思路
插入操作
删除操作
完整代码
测试案例
总结
二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种常用的数据结构，它具有以下特点：
- 左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值
- 右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值
- 左右子树也分别为二叉搜索树
在实际应用中，BST被广泛使用，例如在数据库中的索引、哈希表等。
本文将介绍如何使用递归的方式实现BST，并提供完整代码和测试案例。
实现思路
BST的基本操作包括查找、插入和删除。这里我们只讲解递归方式实现BST的插入和删除操作。
插入操作
插入操作可以分为两种方式：
- 版本一：传入父节点，通过比较key值大小，递归向下寻找插入位置。
- 版本二：使用引用，第一步传参时，root是_root的别名；递归过程中，root是父节点指向它的指针的别名，修改root就是修改了父节点的连接。
版本二的实现方式更加简洁，因此我们选择使用版本二来实现插入操作。
删除操作
删除操作也可以分为两种方式：
- 版本一：传入父节点，通过比较key值大小，递归向下寻找删除节点。
- 版本二：使用引用，第一步传参时，root是_root的别名；递归过程中，root是父节点_left或·_right的别名，修改root就是修改了父节点的连接。
版本二同样更加简洁，因此我们选择使用版本二来实现删除操作。需要注意的是，当删除节点有两个子节点时，需要先找到其左子树中最大的节点或右子树中最小的节点，将其值替换到要删除的节点上，再删除左子树中最大的节点或右子树中最小的节点。
无论是查找、插入、删除，如果使用递归，都需要传参根节点，通过根节点来递归处理子问题，但是在类的实现中，成员变量根节点_root是私有变量，在类外无法访问，针对这种问题，C++常见的处理方式就是套用一层接口函数，定义对应功能的私有函数提供给接口函数调用；用户直接调用接口函数，和之前没有区别，接口函数内再调用对应功能的私有函数，私有函数只在类中使用，自然就可以调用BST的私有成员_root。
完整代码
#include<iostream>
using namespace std;template <class K>
class BSTreeNode
{
public:BSTreeNode<K>* _left;BSTreeNode<K>* _right;K _key;BSTreeNode(const K& key):_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key){ }
};template<class K>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K> Node;
public:bool Find(const K& key){return _Find(_root, key);}bool Insert(const K& key){return _Insert2(_root, key);}void midOrder(){_midOrder(_root);}bool Erase(const K& key){return _Erase(_root, key);}
private:Node* _root = nullptr;bool _Find(Node* root, const K& key){if (root == nullptr)return false;if (key < root->_key){return _Find(root->_left, key);}else if (key > root->_key){return _Find(root->_right, key);}else{return true;}}void _midOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_midOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_midOrder(root->_right);}bool _Insert2(Node*& root, const K& key){if (root == nullptr){root = new Node(key);return true;}if (key < root->_key)return _Insert2(root->_left, key);else if (key > root->_key)return _Insert2(root->_right, key);elsereturn false;}bool _Erase(Node*& root, const K& key){if (root == nullptr)return false;if (key < root->_key)return _Erase(root->_left, key);else if (key > root->_key)return _Erase(root->_right, key);else{if (root->_left == nullptr){Node* del = root;root = root->_right;delete del;}else if (root->_right == nullptr){Node* del = root;root = root->_left;delete del;}else{//要删除的节点有两个子节点，替换法//先找到一个合适的替换节点，然后把值替换//合适的替换节点绝对是上面的几种情况：只有左子树、只有右子树、没有子节点Node* subRight = root->_left;while (subRight->_right){subRight = subRight->_right;}swap(root->_key, subRight->_key);//交换值后，目前虽然整棵树不是搜索二叉树，但是root的左右子树都还是BST，递归去删除即可return _Erase(root->_left, key);}}return true;}
};int main()
{int a[] = { 8,3,1,6,4,7,14,13 };BSTree<int> bst;for (int x : a){bst.Insert(x);}bst.midOrder();//测试：遍历删除for (int x : a){bst.midOrder();cout << endl;bst.Erase(x);bst.midOrder();cout << endl;cout << endl;}cout << "全部删除成功" << endl;system("pause");return 0;
}
测试案例
int a[] = { 8,3,1,6,4,7,14,13 };
BSTree<int> bst;
for (int x : a)
{bst.Insert(x);
}
bst.midOrder();//测试：遍历删除
for (int x : a)
{bst.midOrder();cout << endl;bst.Erase(x);bst.midOrder();cout << endl;cout << endl;
}cout << "全部删除成功" << endl;
构建的二叉树如下：
运行结果如下：
1 3 4 6 7 8 13 14
1 3 4 6 7 8 13 14
1 3 4 6 7 8 13 14 1 3 4 6 7 13 14
1 3 4 6 7 13 14
1 3 4 6 7 13 14 1 3 4 6 13 14
1 3 4 6 13 14
1 3 4 6 13 14 1 3 4 6 13
1 3 4 6 13
1 3 4 6 13 1 3 4 6
1 3 4 6
1 3 4 6 1 3 4
1 3 4
1 3 4 1 3
1 3
1 3 1
1
1 全部删除成功
总结
本文介绍了使用递归的方式实现BST的插入和删除操作，并提供了完整代码和测试案例。递归虽然简洁，但需要注意递归边界条件、参数传递方式等问题。在实际应用中，也可以使用迭代的方式实现BST的基本操作。