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news 2025/9/18 12:46:31

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前言

聚类算法是无监督学习中最经典的问题之一，虽然 K-Means 用得广泛，但它有明显的局限性：

无法识别任意形状的簇
需要提前指定簇的个数 K
对噪声和离群点非常敏感

上一篇介绍了K-Means算法，本文将介绍一下DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）基于密度的噪声应用空间聚类，可以不用担心这些局限！

DBSCAN简介

DBSCAN 是一种基于密度的聚类算法，核心思想是：

“密度高的区域形成簇，密度低的区域是噪声或边界”。

与 K-Means 不同，DBSCAN 不要求指定簇的个数，而是通过“密度”定义簇。

DBSCAN 的核心概念

1. 邻域（ε邻域）

对于任意一点 $p$ ，其ε邻域是以 $p$ 为圆心、半径为 ε 的圆（或球）内的点。

2. 密度可达（density reachable）

如果点 $q$ 在点 $p$ 的 ε 邻域内，且 $p$ 是“核心点”，那么 $q$ 被称为从 $p$ 密度可达。

3. 核心点（core point）

如果某点的 ε 邻域内的点的个数 ≥ MinPts（最小点数），则它是核心点。

4. 边界点（border point）

在核心点的 ε 邻域内，但自身邻域不足 MinPts，不是核心点。

5. 噪声点（noise point）

既不是核心点，也不属于任何核心点邻域。

算法流程

输入：

数据集 D
参数 ε（邻域半径）
参数 MinPts（邻域最小点数）

主要步骤：

遍历所有点，为每个未访问点执行以下操作：
如果该点的 ε 邻域内有 ≥ MinPts 点 → 标记为“核心点”，开始新簇；
递归扩展：把它邻域中的所有密度可达的点加入该簇；
如果邻域点数不足 MinPts → 标记为“噪声”或“边界点”；
重复直到所有点被处理。

用一句话总结：

从任意一个核心点出发，将其“邻居的邻居的邻居…”全都拉入簇中，直到遇到边界或稀疏区域。

DBSCAN vs K-Means

特性	K-Means	DBSCAN
是否需要指定簇数 K？	✅ 是	❌ 不需要
是否能处理异常值？	❌ 敏感	✅ 能自动识别为噪声点
是否支持任意形状簇？	❌ 仅支持球状	✅ 支持任意形状
是否稳定？	❌ 对初始点敏感	✅ 参数敏感但更鲁棒

Python 实战代码

我们使用 sklearn 中的 DBSCAN：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_moons
from sklearn.cluster import DBSCAN# 生成非球形数据
X, _ = make_moons(n_samples=300, noise=0.05, random_state=0)# 运行 DBSCAN,后续会介绍如何确定这两个参数eps和minsamples
#eps：ε 邻域的半径
#minsamples：最小密度点数 MinPts（含自身）
dbscan = DBSCAN(eps=0.2, min_samples=5)
labels = dbscan.fit_predict(X)# 可视化结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels, cmap='rainbow', s=30)
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.title("DBSCAN 聚类结果")
plt.show()

在这里插入图片描述

从图可以看到：

弯月形状的两个簇成功分开；
中间稀疏的点自动识别为噪声（label = -1）；
无需手动指定“2个簇”。

eps 和 MinPts参数

这是 DBSCAN 唯一的难点。
一个实用技巧是，使用 K-距离图

对每个点，计算其到第 MinPts 个最近邻的距离；
将这些距离排序并绘图；
找“拐点”（突变处），即为合适的 ε。

from sklearn.neighbors import NearestNeighborsneighbors = NearestNeighbors(n_neighbors=5)
neighbors_fit = neighbors.fit(X)
distances, _ = neighbors_fit.kneighbors(X)
distances = np.sort(distances[:, 4])  # 第5个最近邻
plt.plot(distances)
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.title("K-距离图")
plt.show()