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news 2025/9/17 18:38:11
大学生网站的设计风格,平面设计软件免费,旅游网站建设与规划论文,电商网站建设需要多少钱一年1. 二叉搜索树 1.1 二叉搜索树概念 二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树: 1.若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值2.若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于…

1. 二叉搜索树

1.1 二叉搜索树概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

  • 1.若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
  • 2.若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
  • 3.它的左右子树也分别为二叉搜索树
    在这里插入图片描述

1.2 二叉搜索树操作

在这里插入图片描述

int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};
  1. 二叉搜索树的查找
    a、从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
    b、最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
  2. 二叉搜索树的插入
    插入的具体过程如下：
    a. 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
    b. 树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点
    在这里插入图片描述
// 插入节点
// 返回值是布尔型，来判断是否插入成功
// 满足如果key和节点数据相比，小于走左子树，大于走右子树，等于则不插入，返回false
// 而最后结束的时插入到叶子节点
bool Insert(const K& key)
{//判断空树时的情况,直接开辟根节点if (_root == nullptr){// 开辟对象节点空间_root = new Node(key);return true;}// 寻找节点位置,从头结点位置开始寻找Node* cur = _root;// 记录cur的父亲节点Node* parent = nullptr;// 从头结点开始寻找插入的适当位置// 搜索二叉树的原则是满足如果key和节点数据相比// 小于走左子树，大于走右子树，等于则不插入，返回false// 结束条件找到叶子节点的左子树或者右子树（nullptr）while (cur){//每次保留父亲节点，找到并且记录叶子节点if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}else{return false;}}// 开辟节点空间插入cur = new Node(key);if (key < parent->_key){parent->left = cur;}else{parent->right = cur;}return true;
}
  1. 二叉搜索树的删除
    首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回, 否则要删除的结点可能分下面3种情况：
  • 一.删除叶子节点（要删除的节点无孩子节点）
    在这里插入图片描述
  • 二.删除左子树或者右子树为空的节点（要删除的结点只有左孩子结点或者只有右孩子节点）
    在这里插入图片描述
  • 三.删除的节点左右子树都不为空（要删除的节点有左、右孩子节点）
    在这里插入图片描述

首先找到要删除的元素
在这里插入图片描述

//每次保留父亲节点，找到并且记录叶子节点
if (key < cur->_key)
{parent = cur;cur = cur->left;
}
else if (key > cur->_key)
{parent = cur;cur = cur->right;
}
else//相等的时候，找到了要删除的位置
{...
}

之后，在else的情况中
实质上在删除的时候的情况：

  1. 一情况的处理可以与二情况合在一起：
  • cur的左子树为空，如果cur在parent左子树，将cur的右子树给parent的左子树，否则cur在parent的右子树，则将cur的右子树付parent的右子树。
  • cur的右子树为空，如果cur在parent得到左子树，将cur的左子树付给parent的左子树，否则cur在parent的右子树，则将cur的左子树赋给parent的右子树。

else中也要分为要删除节点的左孩子为空或右孩子为空的情况：

  • a.cur的左孩子为空
    (1).其中，也要判断是否是头节点，另外判断
    (2).cur不是头节点的情况
    之后判断cur是parent的哪个孩子
    直接将cur的右孩子变为头节点，相当于删除10
    在这里插入图片描述

根据上面的描述，代码如下

			// 左孩子为空if (cur->left == nullptr){// 内部也分为两种情况：// 1.是头节点if (cur == _root){// 直接将cur的右孩子当作头节点_root = cur->right;}else{// 判断cur是parent的哪个孩子//cur是parent左孩子if (cur == parent->left){//cur的右子树赋给parent的左子树parent->left = cur->right;}else// cur是parent右孩子时{//cur的右子树赋给parent的右子树parent->right = cur->right;}}// 删除节点，释放空间delete cur;}
  • b.cur的左孩子为空的情况与a情况类似
    (1).其中，也要判断是否是头节点，另外判断
    (2).cur不是头节点的情况
    之后判断cur是parent的哪个孩子
// 内部也分为两种情况：
// 1.是头节点
if (cur == _root)
{// 直接将cur的左孩子当作头节点_root = cur->left;
}
else
{// 2.不是头节点// 判断cur是parent的哪个孩子//cur是parent左孩子if (cur == parent->left){//cur的右子树赋给parent的左子树parent->left = cur->left;}else// cur是parent右孩子时{//cur的右子树赋给parent的右子树parent->right = cur->left;}
}// 删除节点，释放空间
delete cur;
  • 2.三情况的解决方式：
    删除cur，找一个节点来替换，替换规则：cur的左子树的最大节点，右子树的最小节点，之后交换，直接删除，这种没有问题，在删除头节点会出现问题
    在这里插入图片描述

所以要更改为交换之后，再要判断rightMin也要分为两种情况，rightMin在rightMinParent左孩子还是右孩子。
在这里插入图片描述

				else//二.删除的节点左右子树都不为空{// 删除cur，找一个节点来替换// 替换规则：cur的左子树的最大节点，右子树的最小节点，之后交换// 这里用查找右子树的最左节点Node* rightMin = cur->right;Node* rightMinParent = cur;// 开始查找，结束条件左孩子为空，再去找自己，之后右子树while (rightMin->left){rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->left;}// 交换// 数值交换swap(cur->_key, rightMin->_key);// rightMin也要分为两种情况// 一种是rightMin在rightMinParent左孩子，也就是rightMin左孩子为空if (rightMinParent->left == rightMin)//将rightMin右孩子赋值给父亲节点的左子树rightMinParent->left = rightMin->right;else//另外一种是rightMin在rightMinParent右孩子rightMinParent->right = rightMin->right;delete rightMin;}return true;
}

在这里插入图片描述

完成的删除的代码如下：

// 删除:有着三种情况
// 三种情况：1.删除叶子节点   2.删除左子树或者右子树为空的节点  3.删除的节点左右子树都不为空
//一情况的处理可以与二情况合在一起：
//cur的左子树为空，如果cur在parent左子树，将cur的右子树给parent的左子树，否则cur在parent的右子树，则将cur的右子树付parent的右子树
//cur的右子树为空，如果cur在parent得到左子树，将cur的左子树付给parent的左子树，否则cur在parent的右子树，则将cur的左子树赋给parent的右子树
bool erase(const K& key)
{Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;// 首先找到需要删除的节点while (cur){//每次保留父亲节点，找到并且记录叶子节点if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}else//相等的时候，找到了要删除的位置{//综合结合为两种情况://一.删除的节点有单个左子树或者右子树为空，或者全为空// 左孩子为空if (cur->left == nullptr){// 内部也分为两种情况：// 1.是头节点if (cur == _root){// 直接将cur的右孩子当作头节点_root = cur->right;}else{// 判断cur是parent的哪个孩子//cur是parent左孩子if (cur == parent->left){//cur的右子树赋给parent的左子树parent->left = cur->right;}else// cur是parent右孩子时{//cur的右子树赋给parent的右子树parent->right = cur->right;}}// 删除节点，释放空间delete cur;}else if (cur->right == nullptr){// 内部也分为两种情况：// 1.是头节点if (cur == _root){// 直接将cur的左孩子当作头节点_root = cur->left;}else{// 2.不是头节点// 判断cur是parent的哪个孩子//cur是parent左孩子if (cur == parent->left){//cur的右子树赋给parent的左子树parent->left = cur->left;}else// cur是parent右孩子时{//cur的右子树赋给parent的右子树parent->right = cur->left;}}// 删除节点，释放空间delete cur;}else//二.删除的节点左右子树都不为空{// 删除cur，找一个节点来替换// 替换规则：cur的左子树的最大节点，右子树的最小节点，之后交换// 这里用查找右子树的最左节点Node* rightMin = cur->right;Node* rightMinParent = cur;// 开始查找，结束条件左孩子为空，再去找自己，之后右子树while (rightMin->left){rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->left;}// 交换// 数值交换swap(cur->_key, rightMin->_key);// rightMin也要分为两种情况// 一种是rightMin在rightMinParent左孩子，也就是rightMin左孩子为空if (rightMinParent->left == rightMin)//将rightMin右孩子赋值给父亲节点的左子树rightMinParent->left = rightMin->right;else//另外一种是rightMin在rightMinParent右孩子rightMinParent->right = rightMin->right;delete rightMin;}return true;}}return false;}

find的查找代码：

// 查找
bool find(const K& key)
{// 判断为空树时if (_root == nullptr){return false;}Node* cur = _root;while (cur){//每次保留父亲节点，找到并且记录叶子节点if (key < cur->_key){cur = cur->left;}else if (key > cur->_key){cur = cur->right;}else{return true;}}return false;
}

输出：中序遍历：
这种写法,类外无法访问类内私有成员
在这里插入图片描述

更改代码如下：
可进行无参的访问：private中定义有参的，就可以调用私有成员的_root，在类内的public中重载方法InOrder()，在方法内调用有参的。

	void InOrder(){InOrder(_root);cout << endl;}private:void InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}InOrder(root->left);cout << root->_key << " ";InOrder(root->right);}Node* _root = nullptr;//对象指针};

1.3 二叉搜索树的具体实现

1.3.1 K模型

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
// K模型namespace key
{// 二叉搜索树的实现形式与list类似// 先创建一个节点的类，类中有_key(节点的数据值)、*left(当前节点的左孩子地址)、*right(当前节点的右孩子地址)//节点类template <class K>struct BSTreeNode{K _key;BSTreeNode* left;BSTreeNode* right;//构造函数BSTreeNode(const K& key):_key(key),left(nullptr),right(nullptr){}};// 之后用创建的的节点类，来构造二叉搜索树，每一个节点都是一个节点指针// 二叉搜索树要保证，左孩子值小于父亲节点，右孩子节点大于父亲阶段，数据大小顺序（由小到大）：左孩子，父亲，右孩子// 默认定义搜索树不允许冗余// 成员变量为节点指针template<class K>class BSTree{public:// 重命名一下typedef BSTreeNode<K> Node;public:// 构造函数BSTree() :_root(nullptr){}// 插入节点// 返回值是布尔型，来判断是否插入成功// 满足如果key和节点数据相比，小于走左子树，大于走右子树，等于则不插入，返回false// 而最后结束的时插入到叶子节点bool Insert(const K& key){//判断空树时的情况,直接开辟根节点if (_root == nullptr){// 开辟对象节点空间_root = new Node(key);return true;}// 寻找节点位置,从头结点位置开始寻找Node* cur = _root;// 记录cur的父亲节点Node* parent = nullptr;// 从头结点开始寻找插入的适当位置// 搜索二叉树的原则是满足如果key和节点数据相比// 小于走左子树，大于走右子树，等于则不插入，返回false// 结束条件找到叶子节点的左子树或者右子树（nullptr）while (cur){//每次保留父亲节点，找到并且记录叶子节点if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}else{return false;}}// 开辟节点空间插入cur = new Node(key);if (key < parent->_key){parent->left = cur;}else{parent->right = cur;}return true;}// 删除:有着三种情况// 三种情况：1.删除叶子节点   2.删除左子树或者右子树为空的节点  3.删除的节点左右子树都不为空//一情况的处理可以与二情况合在一起：//cur的左子树为空，如果cur在parent左子树，将cur的右子树给parent的左子树，否则cur在parent的右子树，则将cur的右子树付parent的右子树//cur的右子树为空，如果cur在parent得到左子树，将cur的左子树付给parent的左子树，否则cur在parent的右子树，则将cur的左子树赋给parent的右子树bool erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;// 首先找到需要删除的节点while (cur){//每次保留父亲节点，找到并且记录叶子节点if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}else//相等的时候，找到了要删除的位置{//综合结合为两种情况://一.删除的节点有单个左子树或者右子树为空，或者全为空// 左孩子为空if (cur->left == nullptr){// 内部也分为两种情况：// 1.是头节点if (cur == _root){// 直接将cur的右孩子当作头节点_root = cur->right;}else{// 判断cur是parent的哪个孩子//cur是parent左孩子if (cur == parent->left){//cur的右子树赋给parent的左子树parent->left = cur->right;}else// cur是parent右孩子时{//cur的右子树赋给parent的右子树parent->right = cur->right;}}// 删除节点，释放空间delete cur;}else if (cur->right == nullptr){// 内部也分为两种情况：// 1.是头节点if (cur == _root){// 直接将cur的左孩子当作头节点_root = cur->left;}else{// 2.不是头节点// 判断cur是parent的哪个孩子//cur是parent左孩子if (cur == parent->left){//cur的右子树赋给parent的左子树parent->left = cur->left;}else// cur是parent右孩子时{//cur的右子树赋给parent的右子树parent->right = cur->left;}}// 删除节点，释放空间delete cur;}else//二.删除的节点左右子树都不为空{// 删除cur，找一个节点来替换// 替换规则：cur的左子树的最大节点，右子树的最小节点，之后交换// 这里用查找右子树的最左节点Node* rightMin = cur->right;Node* rightMinParent = cur;// 开始查找，结束条件左孩子为空，再去找自己，之后右子树while (rightMin->left){rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->left;}// 交换// 数值交换swap(cur->_key, rightMin->_key);// rightMin也要分为两种情况// 一种是rightMin在rightMinParent左孩子，也就是rightMin左孩子为空if (rightMinParent->left == rightMin)//将rightMin右孩子赋值给父亲节点的左子树rightMinParent->left = rightMin->right;else//另外一种是rightMin在rightMinParent右孩子rightMinParent->right = rightMin->right;delete rightMin;}return true;}}return false;}// 查找bool find(const K& key){// 判断为空树时if (_root == nullptr){return false;}Node* cur = _root;while (cur){//每次保留父亲节点，找到并且记录叶子节点if (key < cur->_key){cur = cur->left;}else if (key > cur->_key){cur = cur->right;}else{return true;}}return false;}// 中序输出（由小到大排序）//类外不能访问私有成员	  t1.InOrder(t1._root);/*void InOrder(Node *root){判断是否空树if (root == nullptr){return;}InOrder(root->left);cout << root._key << " ";InOrder(root->right);}*/void InOrder(){InOrder(_root);cout << endl;}private:void InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}InOrder(root->left);cout << root->_key << " ";InOrder(root->right);}Node* _root = nullptr;//对象指针};}

1.3.2 KV模型

#pragma once
#include<iostream>//KV模型（key_value模型）namespace key_value
{//节点类template <class K, class V>struct BSTreeNode{K _key;BSTreeNode<K, V>* left;BSTreeNode<K, V>* right;V _value;//构造函数BSTreeNode(const K& key, const V& value):_key(key),left(nullptr),right(nullptr),_value(value){}};// 之后用创建的的节点类，来构造二叉搜索树，每一个节点都是一个节点指针// 二叉搜索树要保证，左孩子值小于父亲节点，右孩子节点大于父亲阶段，数据大小顺序（由小到大）：左孩子，父亲，右孩子// 默认定义搜索树不允许冗余// 成员变量为节点指针template<class K,class V>class BSTree{public:// 重命名一下typedef BSTreeNode<K,V> Node;public:// 构造函数BSTree() :_root(nullptr){}// 插入节点// 返回值是布尔型，来判断是否插入成功// 满足如果key和节点数据相比，小于走左子树，大于走右子树，等于则不插入，返回false// 而最后结束的时插入到叶子节点bool Insert(const K& key, const V& value){//判断空树时的情况,直接开辟根节点if (_root == nullptr){// 开辟对象节点空间_root = new Node(key, value);return true;}// 寻找节点位置,从头结点位置开始寻找Node* cur = _root;// 记录cur的父亲节点Node* parent = nullptr;// 从头结点开始寻找插入的适当位置// 搜索二叉树的原则是满足如果key和节点数据相比// 小于走左子树，大于走右子树，等于则不插入，返回false// 结束条件找到叶子节点的左子树或者右子树（nullptr）while (cur){//每次保留父亲节点，找到并且记录叶子节点if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}else{return false;}}// 开辟节点空间插入cur = new Node(key, value);if (key < parent->_key){parent->left = cur;}else{parent->right = cur;}return true;}// 删除:有着三种情况// 三种情况：1.删除叶子节点   2.删除左子树或者右子树为空的节点  3.删除的节点左右子树都不为空//一情况的处理可以与二情况合在一起：//cur的左子树为空，如果cur在parent左子树，将cur的右子树给parent的左子树，否则cur在parent的右子树，则将cur的右子树付parent的右子树//cur的右子树为空，如果cur在parent得到左子树，将cur的左子树付给parent的左子树，否则cur在parent的右子树，则将cur的左子树赋给parent的右子树bool erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;// 首先找到需要删除的节点while (cur){//每次保留父亲节点，找到并且记录叶子节点if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}else//相等的时候，找到了要删除的位置{//综合结合为两种情况://一.删除的节点有单个左子树或者右子树为空，或者全为空// 左孩子为空if (cur->left == nullptr){// 内部也分为两种情况：// 1.是头节点if (cur == _root){// 直接将cur的右孩子当作头节点_root = cur->right;}else{// 判断cur是parent的哪个孩子//cur是parent左孩子if (cur == parent->left){//cur的右子树赋给parent的左子树parent->left = cur->right;}else// cur是parent右孩子时{//cur的右子树赋给parent的右子树parent->right = cur->right;}}// 删除节点，释放空间delete cur;}else if (cur->right == nullptr){// 内部也分为两种情况：// 1.是头节点if (cur == _root){// 直接将cur的左孩子当作头节点_root = cur->left;}else{// 2.不是头节点// 判断cur是parent的哪个孩子//cur是parent左孩子if (cur == parent->left){//cur的右子树赋给parent的左子树parent->left = cur->left;}else// cur是parent右孩子时{//cur的右子树赋给parent的右子树parent->right = cur->left;}}// 删除节点，释放空间delete cur;}else//二.删除的节点左右子树都不为空{// 删除cur，找一个节点来替换// 替换规则：cur的左子树的最大节点，右子树的最小节点，之后交换// 这里用查找右子树的最左节点Node* rightMin = cur->right;Node* rightMinParent = cur;// 开始查找，结束条件左孩子为空，再去找自己，之后右子树while (rightMin->left){rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->left;}// 交换// 数值交换swap(cur->_key, rightMin->_key);// rightMin也要分为两种情况// 一种是rightMin在rightMinParent左孩子，也就是rightMin左孩子为空if (rightMinParent->left == rightMin)//将rightMin右孩子赋值给父亲节点的左子树rightMinParent->left = rightMin->right;else//另外一种是rightMin在rightMinParent右孩子rightMinParent->right = rightMin->right;delete rightMin;}return true;}}return false;}// 查找Node* find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){//每次保留父亲节点，找到并且记录叶子节点if (key < cur->_key){cur = cur->left;}else if (key > cur->_key){cur = cur->right;}else{// 找到了返回节点return cur;}}//没找到，返回节点，此时节点为空return cur;}// 中序输出（由小到大排序）// 类外不能访问私有成员	  t1.InOrder(t1._root);//void InOrder(Node *root)//{//	// 判断是否空树//	if (root == nullptr)//	{//		return;//	}//	InOrder(root->left);//	cout << root._key << " ";//	InOrder(root->right);//}void InOrder(){InOrder(_root);cout << endl;}private:void InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}InOrder(root->left);cout << root->_key << ":" << _root->_value;InOrder(root->right);}Node* _root = nullptr;//对象指针};void TestBSTree2(){BSTree<string, string> dict;dict.Insert("string", "字符串");dict.Insert("left", "左边");dict.Insert("insert", "插入");//...string str;while (cin >> str){BSTreeNode<string, string>* ret = dict.find(str);if (ret){cout << ret->_value << endl;}else{cout << "无此单词，请重新输入" << endl;}}}void TestBSTree3(){// 统计次数string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉","苹果","草莓", "苹果","草莓" };BSTree<string, int> countTree;for (const auto& str : arr){auto ret = countTree.find(str);if (ret == nullptr){countTree.Insert(str, 1);}else{ret->_value++;}}countTree.InOrder();}
}

1.4 二叉搜索树的应用

  1. K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
    比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
  2. KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。
    该种方式在现实生活中非常常见：
    比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
    再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。

1.5 二叉搜索树的性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。

但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
在这里插入图片描述

  • 最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为： l o g 2 N log_2 N log2​N
  • 最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为： N 2 \frac{N}{2} 2N​

问题：如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进，不论按照什么次序插入关键码，二叉搜索树的性能都能达到最优？那么我们后续章节学习的AVL树和红黑树就可以上场了。

http://www.yayakq.cn/news/686339/

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