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news 2025/9/17 15:05:49

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【1】引言

在前序学习进程中，我们已经了解了基本的二元分类器和神经元的构成，文章学习链接为：

神经网络|(一)加权平均法，感知机和神经元-CSDN博客

在此基础上，我们认识到神经元本身在做二元分类，是一种非此即彼的选择。

由于不同的数据所占的权重不同，二元分类结果也一定收到权重的影响，为此，必须使用数学表达这种影响力。

在神经网络相关研究的漫长发展进程中，研究范围从单个因素到多个因素，必须关注无数的二元分类结果同时作用后获得的最终分类结果，于是sigmoid()函数被提出。

【2】二元分类结果数学表达

认识感知机的二元分类本质，是研究sigmoid()函数的基础。

这里先创造四个矩阵，这三个矩阵分别代表元素1，元素2，元素1和权重和元素2的权重。

import numpy as np #引入numpy模块
import matplotlib.pyplot as plt #引入matplotlib模块#创造矩阵
a = np.random.randint(5,9,size=(1,5)) #矩阵
b = np.random.randint(1,5,size=(1,5)) #矩阵
c = np.random.randn(1,5) #矩阵
d = np.random.randn(1,5) #矩阵
#阈值开关
k=1
#空矩阵
e =np.zeros((1,5),np.uint8) #用来存储二元分类的计算结果

进行二元分类计算：

#二元分类计算
for i in range (5):if a[0,i]*c[0,i]+b[0,i]*d[0,i]-k>0: #阈值计算，满足条件时取1，否则取0e[0,i]=1else:e[0,i]=0print('e[0,',i,']=',e[0,i]) #输出阈值计算结果

绘制二元分类的效果：

#绘制二元分类计算的结果
print('a=',a) #输出矩阵
print('b=',b) #输出矩阵
print('c=',c) #输出矩阵
print('d=',d) #输出矩阵
x=np.arange(0,5,1) #定义一个自变量
plt.plot(x,e[0,x]) #对阈值计算结果绘图
plt.savefig('ganzhiji.png') #保存图像
plt.show() #输出图像

这里使用的阈值判断函数为：

for i in range (5):if a[0,i]*c[0,i]+b[0,i]*d[0,i]-k>0: #阈值计算，满足条件时取1，否则取0e[0,i]=1else:e[0,i]=0

代码运行后的输出图像为：

图1

图1真实地反映了非此即彼的二元分类效果。

需要注意的是，由于元素的权重使用随机数生成，所以每次运行上述程序，获得的效果可能不一样。

【3】sigmoid函数

实际上，二元分类效果可能不是两个元素算一次就进行判断，而是多个结果互相叠加在一起，也就是把阈值判断函数改为：

f=0 #用来存储二元分类的综合计算结果
#二元分类计算
for i in range (5):if i==0:e[0, i] = a[0, i] * c[0, i] + b[0, i] * d[0, i] - k  # 阈值计算else:e[0, i] = a[0, i] * c[0, i] + b[0, i] * d[0, i] - k+e[0,i-1]  # 阈值计算
if e[0,4]>0: #最后计算结果，超过阈值开关取1，否则取0f=1
else:f=0

代码运行后，获得的输出图像为：

图2

此时获得的数据分别为：

图3

由图3可见，因为最后的e[0,4]>0，所以f=1。

此时的完整代码为：

import numpy as np #引入numpy模块
import matplotlib.pyplot as plt #引入matplotlib模块#创造矩阵
a = np.random.randint(5,9,size=(1,5)) #矩阵
b = np.random.randint(1,5,size=(1,5)) #矩阵
c = np.random.randn(1,5) #矩阵
d = np.random.randn(1,5) #矩阵
#阈值开关
k=1
#空矩阵
e =np.zeros((1,5),np.uint8) #用来存储二元分类的计算结果
f=0 #用来存储二元分类的综合计算结果
#二元分类计算
for i in range (5):if i==0:e[0, i] = a[0, i] * c[0, i] + b[0, i] * d[0, i] - k  # 阈值计算else:e[0, i] = a[0, i] * c[0, i] + b[0, i] * d[0, i] - k+e[0,i-1]  # 阈值计算
if e[0,4]>0: #最后计算结果，超过阈值开关取1，否则取0f=1
else:f=0#绘制二元分类计算的结果
print('a=',a) #输出矩阵
print('b=',b) #输出矩阵
print('c=',c) #输出矩阵
print('d=',d) #输出矩阵
print('e=',e) #输出矩阵
print('f=',f) #输出矩阵
x=np.arange(0,5,1) #定义一个自变量
plt.plot(x,e[0,x]) #对阈值计算结果绘图
plt.savefig('ganzhiji.png') #保存图像
plt.show() #输出图像

sigmoid()函数就是在上述基础上，进一步优化函数表达式，把所有的加权计算结果变成指数函数的变量，并且指数函数还设置成分式的一部分。相应的，有如下函数：

$f(x)=\frac{1}{1+exp(-\sum {w}_j{x}_j-b)}$

如果把 $-w_{j}x_{j}-b$ 简化为-x，该函数相应简化为：

$f(x)=\frac{1}{1+exp(-x)}$

函数对应的图像为：

图4

图4是平滑过渡图像，并且输出结果限定在(0,1)范围内。

绘制图4的代码为：

import numpy as np #引入numpy模块
import matplotlib.pyplot as plt #引入matplotlib模块#创造矩阵
t=np.linspace(-10,10,100) #自变量
y0=np.exp(-t) #指数函数
y=1/(1+y0) #因变量
plt.plot(t,y) #绘制图像
plt.title('sigmoid() function') #图像上设置图名
plt.savefig('sigmoid() function.png') #保存图像
plt.show() #显示图像

【4】函数验证

为验证sigmoid()函数，可以在上述示例中的代码plt.plot(x,e[0,x]) #对阈值计算结果绘图

修改为：

plt.plot(x,1/(1+np.exp(-e[0,x]))) #对阈值计算结果绘图

此时运行代码获得的图像为：

图5

由图5可见，复杂多变的实际情况中，sigmoid()函数的输出结果也是在(0,1)范围内。所以，sigmoid()函数本身具有很强的实用性。

此时的完整代码为：

import numpy as np #引入numpy模块
import matplotlib.pyplot as plt #引入matplotlib模块#创造矩阵
a = np.random.randint(5,9,size=(1,5)) #矩阵
b = np.random.randint(1,5,size=(1,5)) #矩阵
c = np.random.randn(1,5) #矩阵
d = np.random.randn(1,5) #矩阵
#阈值开关
k=1
#空矩阵
e =np.zeros((1,5),np.uint8) #用来存储二元分类的计算结果
f=0 #用来存储二元分类的综合计算结果
#二元分类计算
for i in range (5):if i==0:e[0, i] = a[0, i] * c[0, i] + b[0, i] * d[0, i] - k  # 阈值计算else:e[0, i] = a[0, i] * c[0, i] + b[0, i] * d[0, i] - k+e[0,i-1]  # 阈值计算
if e[0,4]>0: #最后计算结果，超过阈值开关取1，否则取0f=1
else:f=0#绘制二元分类计算的结果
print('a=',a) #输出矩阵
print('b=',b) #输出矩阵
print('c=',c) #输出矩阵
print('d=',d) #输出矩阵
print('e=',e) #输出矩阵
print('f=',f) #输出矩阵
x=np.arange(0,5,1) #定义一个自变量
plt.plot(x,1/(1+np.exp(-e[0,x]))) #对阈值计算结果绘图
plt.savefig('sigmoid.png') #保存图像
plt.show() #输出图像

需要注意的是，由于元素的权重使用随机数生成，所以每次运行上述程序，获得的效果可能不一样。