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在概率论中，PMF（概率质量函数）、PDF（概率密度函数）和CDF（累积分布函数）是描述随机变量分布的三个重要概念。它们分别用于不同类型的随机变量，并帮助我们理解随机事件的概率特性。本文将详细介绍这些概念及其之间的关系。

PMF: Probability Mass Function 概率质量函数

PDF: Probability Density Function 概率密度函数

CDF: Cumulative Distribution Function 累积分布函数

1. PMF（概率质量函数）

PMF用于离散型随机变量。离散型随机变量的取值是有限的或可数的，即它的可能值是可以一一列举出来的，比如掷骰子时的点数（1到6）。

PMF的定义是：对于一个离散型随机变量 $X$，PMF $P(X=x)$ 表示随机变量 $X$ 取值为 $x$ 的概率。具体来说，PMF必须满足以下条件：

• $P(X=x)\ge 0$ 对于所有 $x$。

• 所有可能的值 $x$ 的概率之和必须为1，即
  $$\sum _{x}P(X=x)=1$$

例如，在掷一个公平的六面骰子的情况下，PMF为：
$$P(X=x)=\frac{1}{6},x=1,2,3,4,5,6$$

2. PDF（概率密度函数）

PDF用于连续型随机变量。与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值是一个区间上的实数（例如身高、体重、时间等）。对于连续型随机变量 $X$，我们无法直接计算 $P(X=x)$，因为在任何单一的点上，连续随机变量的概率为0。相反，我们用概率密度来描述其概率分布。

PDF的定义是：一个随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f_X(x)$ 满足以下条件：

• $f_X(x)\ge 0$ 对于所有 $x$。

• 随机变量 $X$ 取某个区间 $[a,b]$ 内的值的概率可以通过积分计算：
  $$P(a\le X\le b)={\int }_a^b{f}_X(x)dx$$
  此外，PDF的整体积分为1，即：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)dx=1$$

常见的PDF包括正态分布、均匀分布、指数分布等。

例如，标准正态分布的PDF为：
$$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$
表示一个标准正态随机变量的概率密度。

3. CDF（累积分布函数）

CDF是描述随机变量小于或等于某个特定值的概率的函数。对于任意的随机变量 $X$（无论是离散的还是连续的），其累积分布函数 $F_X(x)$ 定义为：
$$F_X(x)=P(X\le x)$$
CDF具有以下两个主要性质：

• 单调性：累积分布函数是单调非降的，即 $F_X(x_1)\le F_X(x_2)$ 对于 $x_1\le x_2$ 成立。
• 极限：当 $x\to -\infty$ 时，$F_X(x)\to 0$；当 $x\to +\infty$ 时，$F_X(x)\to 1$。

CDF可以通过PDF或PMF推导得出：

• 对于离散型随机变量，CDF是PMF的累加：
  $$F_X(x)=\sum _{x^{\prime }\le x}P(X=x^{\prime })$$

• 对于连续型随机变量，CDF是PDF的积分：
  $$F_X(x)={\int }_{-\infty }^x{f}_X(t)dt$$

4. PMF, PDF, CDF 之间的关系

• 对于离散型随机变量，PMF和CDF有直接的关系。CDF是PMF的累加，表示随机变量小于等于某个值的概率。

• 对于连续型随机变量，PDF和CDF通过积分和导数相关联。具体地，CDF是PDF的积分，而PDF是CDF的导数。即：
  $$F_X(x)={\int }_{-\infty }^x{f}_X(t)dt,f_X(x)=\frac{d}{dx}{F}_X(x)$$