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news 2025/9/18 14:11:14

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首先，假如我们定义一个极简的传递规则

$f(X,A) = AX$

A是邻接矩阵，X是特征矩阵，其物理意义就是通过矩阵乘法操作，批量把图中的相邻节点汇聚到当前节点。

但是由于A的对角线都是 0.因此自身的节点特征会被过滤掉。

图神经网络的核心是吸周围之精华，再叠加自身，因而需要改进来保留自身特征。如何做？

方法是给每个节点添加一个自环，即将邻接矩阵对角线值各加1，此时用 $\widetilde{A}$ 表示， $\widetilde{A}X$ 做到了聚合邻居节点并保留自身信息。

但是当图过于复杂时，聚合邻居信息会不断执行矩阵乘法或加法，可能导致特征值太大而溢出。如何做？

方法是邻接矩阵归一化。那么如何归一化呢？我们由A可以得到图的度D，由于A变成了 $\widetilde{A}$ ，我们认为 $\widetilde{A}$ 的度为 $\widetilde{D}$ 。常用的归一化方式就是用度数矩阵的倒数 $\widetilde{D}^{-1}$ 。

则

$f(X,A) = \widetilde{D}^{-1}\widetilde{A}X$

但是 $\widetilde{D}^{-1}\widetilde{A}$ 仅仅对矩阵A进行了列上的缩放，操作后的元素值是不对称的，某种程度破坏了图结构的对称性。（这是为什么？）那么如何修复这种对称性呢？

方法是在行的方向上也进行对等缩放，具体做法是，让邻接矩阵 $\widetilde{A}$ 右乘一个缩放因子 $\widetilde{D}^{-1}$ ，这样就使得缩放版本的邻接矩阵重新恢复对称性。于是信息聚合的方式为

$f(X,A) = \widetilde{D}^{-1}\widetilde{A}\widetilde{D}^{-1}X$

$\widetilde{D}^{-1}\widetilde{A}\widetilde{D}^{-1}$ 能够很好地缩放邻接矩阵，既然-1次幂可以完成，为什么不尝试一下（-1/2）次幂呢？

事实上，对每个矩阵元素都实施 $\widetilde{D}^{-\frac{1}{2}}\widetilde{D}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{deg(v_i)\sqrt{deg(v_j)}}}$

这种操作可以对邻接矩阵地每一行每一列”无偏差“地进行一次归一化，以防相邻节点间度数不匹配对归一化地影响。（why）？

于是就出现了被众多学术论文广泛采纳地邻接矩阵地缩放形式

$f(X,A) = \widetilde{D}^{-\frac{1}{2}}\widetilde{A}\widetilde{D}^{-\frac{1}{2}}X$

考虑权值影响的信息聚合

上述仅仅考虑到邻接矩阵对获取邻居节点信息的影响，即只考虑拓扑结构施加的影响。事实上，对于特定节点而言，不同维度的特征值对给定任务的影响程度是不同的，如果第对各个特征值进行时打分就，就要涉及到权值矩阵W了，也就是要构造更为完整的图神经网络模型 AWX。权值矩阵W通常是通过学习得到的。

$f(X,A) = \widetilde{D}^{-\frac{1}{2}}\widetilde{A}\widetilde{D}^{-\frac{1}{2}}XW$

如果我们想压缩节点输出的维度，也可以缩减权值矩阵的输出维度。

在以上的分析中，没有考虑激活函数的影响，无法给予神经网络的非线性变换能力，因此通常我们需要使用sigmoid、tanh、Relu等作为激活函数，最后再用argmax函数模拟一个分类的输出。

reference：

《从深度学习到图神经网络：模型与实践》张玉宏等

code：

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np#定义节点
N = [(f"v{i}", 0) for i in range (1,3)] + [(f"v{i}",1) for i in range (3,5)] + [(f"v{i}",2) for i in range (5,6)] #定义节点#定义边
E = [("v1","v2"),("v1","v3"),("v2","v1"),("v2","v3"),("v2","v4"),("v3","v1"),("v3","v2"),("v3","v4"),("v4","v2"),("v4","v3"),("v4","v5"),("v5","v4")] #定义边G = nx.Graph() #构造图G.add_nodes_from(list(map(lambda x: x[0],N))) #给图添加节点
G.add_edges_from(E) #给图添加边ncolor =['r']*2 + ['b']*2 +['g']*1 #设置节点颜色
nsize = [700]*2 + [700]*2 + [700]*1 #设置节点的大小#显示图
nx.draw(G, with_labels= True, font_weight ='bold', font_color = 'w', node_color =ncolor, node_size =nsize)
plt.show()#借用nx构造邻接矩阵
A = np.array(nx.adjacency_matrix(G).todense())
print(A)#构造特征矩阵X
X = np.array([[i,-i, i+2] for i in  range (A.shape[0])])
print(X)#为了不丢失自己的属性，需要修改本身的邻接矩阵，因为最初邻接矩阵的斜对角线为0
I = np.eye(A.shape[0])
A_hat = A + I
print('A_hat')
print(A_hat)#计算自环邻接矩阵的度
D_hat = np.diag(np.sum(A_hat,axis= 0 ))
print(D_hat)#获取D——hat的逆矩阵，即一个缩放因子
D_1 = np.diag(D_hat) ** (-1) *np.eye(A_hat.shape[0])
print('D_1')
print(D_1)#缩放版的邻接矩阵
A_scale = D_1 @ A_hat  #对矩阵A仅仅进行了列方向上的缩放
print('A_scale')
print(A_scale)#用A_scale来聚合邻居节点的信息
X_new = A_scale @ X
print('X_new')
print(X_new)#修复原本的缩放的不对称性
scale_factor = D_1 @ A_hat @ D_1    #scale_factor 是对称的，而 A_scale是不对称 的
print('scale_factor')
print(scale_factor)#用scale_factor来聚合邻居节点的信息
X_new1 = scale_factor  @ X
print('X_new1')
print(X_new1)D_sq_half = np.diag(D_hat) ** (-0.5) *np.eye(A_hat.shape[0])
print('D_sq_half')
print(D_sq_half)#修复原本的缩放的不对称性
scale_factor2 = D_sq_half @ A_hat @ D_sq_half    #scale_factor 是对称的，而 A_scale是不对称 的
print('scale_factor2')
print(scale_factor2)#用scale_factor2来聚合邻居节点的信息
X_new2 = scale_factor2  @ X
print('X_new2')
print(X_new2)#给出的权值矩阵
W = np.array([[0.13,0.24],[0.37,-0.32],[0.14,-0.15]])X_new3 = X_new2 @ W
print(X_new3)#也可以缩减W的尺寸压缩节点的输出维度
W1 = np.array([[0.13],[0.37],[0.14]])
#计算logits
logits = X_new2 @ W1
print(logits)#以上都没有考虑到激活函数，无法模拟神经网络的非线性变换能力，可以使用激活函数
y = logits * (logits >0)  #使用Relu函数
print(y)#为了实现分类等功能，还需要添加一层Softmax
def softmax(x):return np.exp(x) /np.sum(np.exp(x), axis = 0)prob = softmax(y)
print('y')
print(y)#模拟一个分类输出
pred = np.argmax(prob)
print(pred)

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http://www.yayakq.cn/news/32024/