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此示例是 什么是极大似然估计 中的一个例子，本文的目的是给出更加详细的方程求解步骤，便于数学基础不好的同学理解。

目标

假设我们有一组样本数据 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，它们来自一个正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，我们的目标是通过极大似然估计（MLE）来找到正态分布的两个参数 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$。

对数似然函数

正态分布的概率密度函数为：
$$f(x_i|\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(x_i-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

给定样本 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，样本的似然函数为：
$$L(\mu ,{\sigma }^2)=\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(x_i-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$\ell (\mu ,{\sigma }^2)=\log L(\mu ,{\sigma }^2)=\sum _{i=1}^n\log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(x_i-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)\right)$$

我们可以将对数似然函数分解为三部分：
$$\ell (\mu ,{\sigma }^2)=-\frac{n}{2}\log (2\pi )-\frac{n}{2}\log ({\sigma }^2)-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$$

现在我们分别对 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 求导。

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一、对 $\mu$ 求导

首先，对 $\mu$ 求导，方程中的 $\mu$ 仅出现在最后一项 ${\sum }_{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$ 中，因此我们只对这一项求导：
$$\ell (\mu ,{\sigma }^2)=-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$$

对 $\mu$ 求导：
$$\frac{\partial \ell }{\partial \mu }=-\frac{1}{2{\sigma }^2}\cdot 2\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )(-1)$$

简化后为：
$$\frac{\partial \ell }{\partial \mu }=\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )$$

将这个导数设为 0，来找到 $\mu$ 的极大似然估计：
$$\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )=0$$

因为 ${\sigma }^2\ne 0$，我们可以省略 $\frac{1}{{\sigma }^2}$，得到：
$$\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )=0$$

简化为：
$$n\mu =\sum _{i=1}^n{x}_i$$

因此，$\mu$ 的极大似然估计为：
$$\hat{\mu }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

这意味着，样本的均值是 $\mu$ 的极大似然估计。

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二、对 ${\sigma }^2$ 求导

接下来我们对 ${\sigma }^2$ 求导。对数似然函数中关于 ${\sigma }^2$ 的部分是：
$$\ell (\mu ,{\sigma }^2)=-\frac{n}{2}\log (2\pi )-\frac{n}{2}\log ({\sigma }^2)-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$$

我们对 ${\sigma }^2$ 求导，逐项进行求导：

1. 第一项 $-\frac{n}{2}\log (2\pi )$ 是常数，对 ${\sigma }^2$ 求导为 0。

2. 第二项 $-\frac{n}{2}\log ({\sigma }^2)$：

   使用对数函数的求导公式 $\frac{d}{d{\sigma }^2}(\log {\sigma }^2)=\frac{1}{{\sigma }^2}$，我们有：
   $$\frac{\partial }{\partial {\sigma }^2}\left(-\frac{n}{2}\log ({\sigma }^2)\right)=-\frac{n}{2{\sigma }^2}$$

3. 第三项 $-\frac{1}{2{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$：

   使用 $\frac{d}{d{\sigma }^2}\left(\frac{1}{{\sigma }^2}\right)=-\frac{1}{{\sigma }^4}$，我们得到：
   $$\frac{\partial }{\partial {\sigma }^2}\left(-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2\right)=\frac{1}{2{\sigma }^4}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$$

将各项导数结果组合

我们将对数似然函数中所有关于 ${\sigma }^2$ 的项求导结果组合起来：
$$\frac{\partial \ell }{\partial {\sigma }^2}=-\frac{n}{2{\sigma }^2}+\frac{1}{2{\sigma }^4}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$$

设置导数为 0，解出 ${\sigma }^2$

为了找到 ${\sigma }^2$ 的极大似然估计，我们将导数设为 0：
$$-\frac{n}{2{\sigma }^2}+\frac{1}{2{\sigma }^4}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2=0$$

1. 消去常数 $\frac{1}{2}$

为了简化方程，两边同时乘以 2 消去常数：
$$-\frac{n}{{\sigma }^2}+\frac{1}{{\sigma }^4}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2=0$$

2. 将 $\frac{n}{{\sigma }^2}$ 移到右边

将方程重排：
$$\frac{1}{{\sigma }^4}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2=\frac{n}{{\sigma }^2}$$

3. 乘以 ${\sigma }^4$

为了消去 ${\sigma }^4$，我们将方程两边乘以 ${\sigma }^4$：
$$\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2=n{\sigma }^2$$

4. 解出 ${\sigma }^2$

将 ${\sigma }^2$ 留在一边，解出：
$${\sigma }^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$$

这个结果就是 ${\sigma }^2$ 的极大似然估计，即样本方差公式。

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总结

我们通过对正态分布的对数似然函数分别对 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 求导，得到以下结论：

1. 均值 $\mu$ 的极大似然估计：
   $$\hat{\mu }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$
   即样本的均值是 $\mu$ 的极大似然估计。

2. 方差 ${\sigma }^2$ 的极大似然估计：
   $${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\hat{\mu }{)}^2$$
   即样本方差是 ${\sigma }^2$ 的极大似然估计。