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模拟案例网格划分游戏视频及其他搬运视频 文章目录 我的主页博客园主页-发文字笔记-常用哔哩哔哩主页-发视频-常用 Python-Mpmath库高精度数值计算1. Introduction1.2 Basic usage of mpmath1.3 输出格式化1.4 输出的小数点位数 2. BASIC FEATURES2.1 Arbitrary-precision floating-point (mp)2.2 Arbitrary-precision interval arithmetic (iv)2.3 Double-precision arithmetic using Python’s builtin float and complex types (fp)2.4 基本函数 2.4 实用函数2.4.1 converion and printing2.4.2 算术运算2.4.3 复数相关函数2.4.4 处理整数和小数2.4.5 公差和近似比较2.4.6 数组生成 2.5 plotting函数2.5.1 2D plotting 3. 高级特性3.1 矩阵3.1.1 创建矩阵3.1.2 向量3.1.3 矩阵复制3.1.4 矩阵运算 文章目录 我的主页博客园主页-发文字笔记-常用哔哩哔哩主页-发视频-常用 Python-Mpmath库高精度数值计算1. Introduction1.2 Basic usage of mpmath1.3 输出格式化1.4 输出的小数点位数 2. BASIC FEATURES2.1 Arbitrary-precision floating-point (mp)2.2 Arbitrary-precision interval arithmetic (iv)2.3 Double-precision arithmetic using Python’s builtin float and complex types (fp)2.4 基本函数 2.4 实用函数2.4.1 converion and printing2.4.2 算术运算2.4.3 复数相关函数2.4.4 处理整数和小数2.4.5 公差和近似比较2.4.6 数组生成 2.5 plotting函数2.5.1 2D plotting 3. 高级特性3.1 矩阵3.1.1 创建矩阵3.1.2 向量3.1.3 矩阵复制3.1.4 矩阵运算 Numpy 和 MpMath 都是 Python 中常用的数学库它们都提供了许多数学函数和工具但它们的设计目的和实现方式有所不同。Numpy 主要用于处理大规模的数值数据而 MpMath 则专注于高精度计算和符号计算。
虽然 Numpy 和 MpMath 的设计目的不同但它们之间可以进行互操作。具体来说可以将 Numpy 数组转换为 MpMath 的高精度数值类型然后使用 MpMath 的函数进行计算。同样地也可以将 MpMath 的数值类型转换为 Numpy 数组然后使用 Numpy 的函数进行计算。
Python-Mpmath库高精度数值计算
Checking that it works
# import mpmath as mp
from mpmath import *
from icecream import ic
mp.dps 50 # Set precision
print(mpf(2)**mpf(0.5))1. Introduction
1.2 Basic usage of mpmath
mpmath的数值类型: mpf(real float),mpc(complex float),matrix
print(mp.dps)
print(mp.cos(3.14))a1mpf(4)
a2mpf(4.0)
ic(a1,a2)
a3mpf(1.25e6)
ic(a3)
a4mpf(-inf)
ic(a4)a5mpc(1,2)
ic(a5)
a6mpc(complex(1,20))
ic(a6)ic(a5.conjugate()) # 共轭复数
ic(a5.real) # 实部
ic(a5.imag) # 虚部Mpmath使用全局工作精度;它不跟踪单个数字的精度或准确性。执行算术运算或调用mpf()将结果舍入到当前的工作精度。工作精度由一个名为mp的上下文对象控制
print(mp)
# Mpmath settings:
# mp.prec 169 [default: 53]
# mp.dps 50 [default: 15]
# mp.trap_complex False [default: False]# prec---二进制精度
# dps---十进制精度
# prec 3.33*dps# 当创建一个新的mpf时该值最多将与输入一样准确
#!!警告 将mpmath数字与Python浮点数混合使用时要小心
mp.dps 30
# bad
ic(mpf(10.8))# good
ic(mpf(10.8))# also good
ic(mpf(108)/mpf(10))# ? 然而0.5、1.5、0.75、0.125等通常作为输入是安全的因为它们可以用Python浮点数精确地表示1.3 输出格式化
# 设置 mp.pretty True 可以输出更好看的结果mp.pretty True
mpf(0.6)
# output: 0.599999999999999977795539507497mp.pretty False
mpf(0.6)
# output: mpf(0.599999999999999977795539507496869)1.4 输出的小数点位数
use mpmath.nstr() and mpmath.nprint() 函数.默认情况下打印数字的位数由工作精度决定。要指定要显示的位数而不改变工作精度
ampf(1)/6.0mp.nstr(a, 5)
# output: 0.16667mp.nprint(a, 10)
# output: 0.16666666672. BASIC FEATURES
mpmath中的高级代码是作为“上下文对象”上的方法实现的。上下文实现算术、类型转换和其他基本操作。上下文还保存诸如精度之类的设置并存储缓存数据。提供了一些不同的上下文(具有基本兼容的接口)以便高级算法可以与底层算法的不同实现一起使用从而允许不同的特性和速度-精度权衡。
目前mpmath提供了以下上下文:
Arbitrary-precision arithmetic (mp)A faster Cython-based version of mp (used by default in Sage, and currently only available there)Arbitrary-precision interval arithmetic (iv)Double-precision arithmetic using Python’s builtin float and complex types (fp)
2.1 Arbitrary-precision floating-point (mp)
mp支持任意精度,并且支持绝大多数函数,经过充分测试,充分优化.
2.2 Arbitrary-precision interval arithmetic (iv)
iv支持区间运算,但是在版本1.3.0中,iv还处于测试阶段,只支持少部分函数.
2.3 Double-precision arithmetic using Python’s builtin float and complex types (fp)
尽管mpmath通常是为任意精度算术设计的但许多高级算法可以很好地处理普通的Python浮点数和复数它们使用硬件双精度(在大多数系统上这相当于53位精度).mp object的函数会把输入转换为mpmath numbers type. fp object则是将输入转换为Python的浮点数和复数类型.当需要进行大量的函数求值(数值积分、绘图等)并且当fp算法提供足够的精度时这可以大大提高mp算法的速度。
基于以上优势,可以使用fp.func 进行运算.(使用func 或mp.func 都是mp的函数)
使用fp算法计算的结果可能比使用等效精度(mp)的mp计算的结果不那么精确.(mp.prec 53)因为后者经常使用更高的内部精度。其精度高度依赖于:
for some functions, fp almost always gives 14-15 correct digits; for others, results can be accurate to only 2-3 digits or even completely wrong.The recommended use for fp is therefore to speed up large-scale computations where accuracy can be verified in advance on a subset of the input set, or where results can be verified afterwards.
fp.prettyTrue
ufp.rand()print(u)
# 0.6473090346719316print(type(u))
# class floatmfp.matrix([[1,2],[3,4]])**2print(m)
# [ 7.0 10.0]
# [15.0 22.0]print(type(m))
# class mpmath.matrices.matrices.matrix2.4 基本函数
fp bject 为基本函数 包装了Python的math和cmath模块。支持实数和复数并自动为实数输入生成复数结果(数学会引发异常)
fp.sqrt(5)
# 2.23606797749979fp.sqrt(-5)
# 2.23606797749979jfp.sin(fp.pi/2)
# 1.0fp.power(-2,0.5)
# (8.659560562354934e-171.4142135623730951j)print(type(fp.power(-2,0.5)))
# class complex2.4 实用函数
2.4.1 converion and printing
# mp.mpmathify(x,stringsTrue)
# 能够将x转换为mpf or mpc类型fp.dps15
fp.pretty Truempmathify(3.5)
# mpf(3.5)mpmathify(34j)
#mpc(real3.0, imag4.0)mpmathify(3.5)
# mpf(3.5)# mpmath.nstr(x,n6,**kwargs)
# 将mpf或mpc转换为具有n位有效数字的十进制字符串
# nprint(x,n6) 会直接打印nstr()的字符串结果fmp.mpf(1.53)
print(f)
nprint(f,n12)
# 1.530000000000000026645352591
# 1.532.4.2 算术运算
包括加减乘除、取模、幂运算等。
# ! mpmath.fadd(x, y,**kwargs)
# 实现xy,返回浮点数结果.可以自定义精度和舍入模式.默认精度是工作精度,
# kwargs中可以设置精度和舍入模式.:
# prec,dps(int)--设置精度; exactTrue--不四舍五入.
# rounding(str)--设置舍入模式,可选n(default)--nearst,f--floor,c-ceiling,d-down,u-up.
xmp.rand()
ymp.rand()
ic(x,y)
nprint(mp.fadd(x,y,dps5,roundingu))
# ic| x: mpf(0.936352251244129142275205120579475)
# y: mpf(0.118268786487759443295747691143063)
# 1.05462# ! mpmath.fsub(x, y,**kwargs)
# 实现x-y,返回浮点数结果.
xmp.mpf(1.53)
ymp.mpf(2.87)
print(x-y)
# -1.34000000000000007993605777301
print(mp.fsub(x,y))
# -1.34000000000000007993605777301# ! mpmath.fneg(x,**kwargs)
# 实现-x,返回浮点数结果.
print(mp.fneg(mp.mpf(2.5)))
# -2.5# ! mpmath.fmul(x, y,**kwargs)
# 实现x*y,返回浮点数结果.
xmp.mpf(2.5)
ymp.mpf(3.14)
print(x*y)
# 7.85000000000000031086244689504
print(mp.fmul(x,y))
# 7.85000000000000031086244689504amp.mpc(2,5)
bmp.mpc(3,4)
print(a*b)
# (-14.0 23.0j)
print(mp.fmul(a,b))
# (-14.0 23.0j)# ! mpmath.fdiv(x, y,**kwargs)
# 实现x/y,返回浮点数结果.
xmp.mpf(3)
ymp.mpf(2)
print(x/y)
# 1.5
print(mp.fdiv(x,y))
# 1.5# ! mpmath.fmod(x,y)
# Converts and to mpmath numbers and returns mod .
# For mpmath numbers, this is equivalent to x % y.
mp.fmod(100,3)
# mpf(1.0)
print(100%3)
# 1# ! mpmath.fsum(terms,absoluteFalse,squaredFalse,**kwargs)
# 计算一个array-like的terms的和.如果len(terms)2,这会比python内置的sum函数快很多.
# absoluteTrue--返回每一项的绝对值的总和.
# squaredTrue--返回每一项的平方的总和.
mp.fsum([1,2,3,4,5])
# mpf(15.0)mp.fsum([1,-2,3,-4,5],absoluteTrue)
# mpf(15.0)
mp.fsum([1,-2,3,-4,5],absoluteFalse)
# mpf(3.0)mp.fsum([1,2,3,4,5],squaredTrue)
# mpf(55.0)# ! mpmath.fprod(factors)
# 计算一个array-like object的每一项的连续乘积.
# 如: fprod([1,2,3,4,5])1*2*3*4*5120
mp.fprod([1,2,3,4,5])
# mpf(120.0)# ! mpmath.fdot(A, BNone, conjugateFalse)
# 接受两个array-like object A和B,计算A,B的点积. sum(A[i]*B[i]) ,i0,...,len(A)-1.
# if conjugate is True, B is conjugated before multiplication.
# 如: fdot([1,2,3],[4,5,6])1*42*53*632
mp.fdot([1,2,3],[4,5,6])
# mpf(32.0)2.4.3 复数相关函数
fabs(x) :返回复数x的模或者实数x的绝对值. arg(x):返回x的相位角(以弧度表示).-pi arg(x) pi . sign(x) :返回x的符号,sign(x)x/|x|. re(x) :返回x的实部. im(x) :返回x的虚部. conj(x) :返回x的共轭复数 x ˉ \bar{x} xˉ polar(x) :将复数x分解为极坐标形式(r,θ) x r exp ( i θ ) xr\exp(i\theta) xrexp(iθ) rect(r,θ) :将极坐标形式(r,θ)转换为复数形式 x r ( cos θ i sin θ ) xr(\cos\thetai\sin\theta) xr(cosθisinθ) from mpmath import *mp.dps 15; mp.pretty Truechop(rect(2, pi))
-2.0rect(sqrt(2), -pi/4)
(1.0 - 1.0j)2.4.4 处理整数和小数
floor(x) : 向下取整数 ceil(x) : 向上取整数 nint(x) : 四舍五入取整数 frac(x) : 返回x的小数部分,frac(x)x-floor(x) from mpmath import *mp.pretty Falsefrac(1.25)
mpf(0.25)frac(3)
mpf(0.0)frac(-1.25)
mpf(0.75)2.4.5 公差和近似比较
chop(x, tolNone) : 去除小的实部或者虚部,或者将接近于0的转换为精确的0,x可以是数字或者iterable.The tolerance defaults to 100*eps. almosteq(s, t, rel_epsNone, abs_epsNone) : 判断s-t是否小于给定的误差,rel_eps和abs_eps分别是相对误差和绝对误差.绝对误差|s-t|,相对误差|s-t|/max(|s|,|t|).
2.4.6 数组生成
fraction(p,q) ;给定两个整数p和q,返回分数p/q.比其他的精度更好 from mpmath import *mp.dps 15a fraction(1,100)b mpf(1)/100print(a); print(b)
0.01
0.01mp.dps 30print(a); print(b) # a will be accurate
0.01
0.0100000000000000002081668171172mp.dps 15rand() : 随机生成一个mpf随机数,范围在[0,1)之间. arrange(*args):返回mpf数组序列. 最后一个数不是b
arrange(b):[0,1,2,…,x]arrange(a,b):[a,a1,a2,…,x] b − 1 ≤ x b b-1 \leq x b b−1≤xb arrange(a,b,h):[a,ah,a2h,…,x] b − h ≤ x b b-h \leq x b b−h≤xb from mpmath import *mp.dps 15; mp.pretty Falsearange(4)
[mpf(0.0), mpf(1.0), mpf(2.0), mpf(3.0)]arange(1, 2, 0.25)
[mpf(1.0), mpf(1.25), mpf(1.5), mpf(1.75)]arange(1, -1, -0.75)
[mpf(1.0), mpf(0.25), mpf(-0.5)]linspace(start,end,num) :返回浮点数数组,从start到end均匀分成num个元素.默认包括end.元素之间的间隔 Δ ( e n d − s t a r t ) / ( n u m − 1 ) \Delta(end-start)/(num-1) Δ(end−start)/(num−1) from mpmath import *mp.dps 15; mp.pretty Falselinspace(1, 4, 4)
[mpf(1.0), mpf(2.0), mpf(3.0), mpf(4.0)]使用 endpointFalse 可以排除end.此时: 元素之间的间隔 Δ ( e n d − s t a r t ) / ( n u m 1 ) \Delta(end-start)/(num1) Δ(end−start)/(num1) linspace(1, 4, 4, endpointFalse)
[mpf(1.0), mpf(1.75), mpf(2.5), mpf(3.25)]2.5 plotting函数
plot([cos, sin], [-4, 4]): 绘制cos和sin函数的图像,x轴范围为[-4,4]. 2.5.1 2D plotting This function requires matplotlib (pylab). plot(f, xlim[- 5, 5], ylimNone, points200, fileNone, dpiNone, singularities[], axesNone)
给定一个函数f(x),或者一个函数序列[f1(x),f2(x),…,fn(x)],并指定x周范围xlim[start,end],绘制2D图像
使用singularities可以在指定点,消除数值奇异或者无穷大值.例如tan函数
# 使用singularities绘制tan函数
from mpmath import *
plot(tan, [-2*pi, 2*pi],singularities[-pi/2, pi/2,-1.5*pi,1.5*pi],points10000)# 不使用singularities绘制tan函数
from mpmath import *
plot(tan, [-2*pi, 2*pi],points10000)例如:
plot(lambda x: exp(x)*li(x), [1, 4])
plot([fresnels, fresnelc], [-4, 4])
plot([sqrt, cbrt], [-4, 4])
plot(lambda t: zeta(0.5t*j), [-20, 20])
plot([floor, ceil, abs, sign], [-5, 5])3. 高级特性
3.1 矩阵
3.1.1 创建矩阵
mpmath中的矩阵是使用字典实现的。只存储非零值因此表示稀疏矩阵的成本很低。
最简单的矩阵创建方法是使用matrix()函数,指定矩阵维度,可以得到空矩阵;也可以基于列表创建矩阵,这在根据已知numpy数组创建矩阵时很有用.
# 创建空矩阵from mpmath import *mp.dps 15; mp.pretty Falsematrix(2)
matrix(
[[0.0, 0.0],
[0.0, 0.0]])matrix(2, 3)
matrix(
[[0.0, 0.0, 0.0],
[0.0, 0.0, 0.0]])
# 基于列表创建矩阵matrix([[1, 2], [3, 4]])
matrix(
[[1.0, 2.0],
[3.0, 4.0]])mp.matrix(np.array([[1,2,5],[3,4,9]]))
matrix(
[[1.0, 2.0, 5.0],[3.0, 4.0, 9.0]])
mp.matrix(np.array([1,2,5,6]))
matrix(
[[1.0],[2.0],[5.0],[6.0]])
mp.matrix(np.array([[1,2,5,6]]))
matrix(
[[1.0, 2.0, 5.0, 6.0]])访问matrix object的rows,cols属性可以得到矩阵的行数,列数.直接修改rows,cols可以改变矩阵的维度.(新增的元素为0,删除的元素会丢失) A matrix(3, 2)A
matrix(
[[0.0, 0.0],
[0.0, 0.0],
[0.0, 0.0]])A.rows
3A.cols
2A.rows 2A
matrix(
[[0.0, 0.0],
[0.0, 0.0]])索引矩阵元素的语法为:matrix[i,j],i表示行,j表示列. A matrix(2)A[1,1] 1 1jprint(A)
[0.0 0.0]
[0.0 (1.0 1.0j)]高级方法
zeros(rows, cols) : 创建rows行cols列的零矩阵 ones(rows, cols) : 创建rows行cols列的单位矩阵 eye(rows, cols) : 创建rows行cols列的单位矩阵 randmatrix(rows, cols) : 创建rows行cols列的随机矩阵
3.1.2 向量
向量也可以使用matrix表示(rows1 or cols1),行列向量的创建方法:
# 创建列向量from mpmath import *amatrix([1,2,3])a
matrix(
[[1.0],[2.0],[3.0]])a.rows
3a.cols
1
# 创建行向量bmatrix([[1,2,3]])b
matrix(
[[1.0, 2.0, 3.0]])b.rows
1b.cols
33.1.3 矩阵复制
直接打印矩阵,控制有效位数: print(randmatrix(3))
[ 0.782963853573023 0.802057689719883 0.427895717335467]
[0.0541876859348597 0.708243266653103 0.615134039977379]
[ 0.856151514955773 0.544759264818486 0.686210904770947]nprint(randmatrix(5), 3)
[2.07e-1 1.66e-1 5.06e-1 1.89e-1 8.29e-1]
[6.62e-1 6.55e-1 4.47e-1 4.82e-1 2.06e-2]
[4.33e-1 7.75e-1 6.93e-2 2.86e-1 5.71e-1]
[1.01e-1 2.53e-1 6.13e-1 3.32e-1 2.59e-1]
[1.56e-1 7.27e-2 6.05e-1 6.67e-2 2.79e-1]由于matrix object属于mutable,因此可以直接修改元素的值,或者使用copy()方法复制矩阵.涉及到浅拷贝,深拷贝,赋值的概念,可以参考python的相关知识.
# 拷贝矩阵amatrix([[1,2],[3,4]])a
matrix(
[[1.0, 2.0],[3.0, 4.0]])ba.copy()b
matrix(
[[1.0, 2.0],[3.0, 4.0]])a[0,0]0a
matrix(
[[0.0, 2.0],[3.0, 4.0]])b
matrix(
[[1.0, 2.0],[3.0, 4.0]])
# 直接赋值id(a)
2441463350224baid(b)
2441463350224 # 两个变量指向同一块内存空间b
matrix(
[[1.0, 2.0],[3.0, 4.0]])b[1,1]100a
matrix(
[[1.0, 2.0],[3.0, 100.0]])b
matrix(
[[1.0, 2.0],[3.0, 100.0]])matrix object可以使用.tolist()方法转换为嵌套列表 a
matrix(
[[0.0, 2.0],[3.0, 100.0]])a.tolist()
[[mpf(0.0), mpf(2.0)], [mpf(3.0), mpf(100.0)]]import numpy as npnp.array(a.tolist())
array([[mpf(0.0), mpf(2.0)],[mpf(3.0), mpf(100.0)]], dtypeobject)np.array(a.tolist())[1,1]
mpf(100.0)3.1.4 矩阵运算
矩阵和实数之间的加减乘除,次幂运算(A^n) A matrix([[1, 2], [3, 4]])B matrix([[-2, 4], [5, 9]])
# 矩阵相加A B
matrix(
[[-1.0, 6.0],
[8.0, 13.0]])A - B
matrix(
[[3.0, -2.0],
[-2.0, -5.0]])
# 举着相加需要注意维度的一致性A ones(3)
Traceback (most recent call last):
File stdin, line 1, in module
File ..., line 238, in __add__
raise ValueError(incompatible dimensions for addition)
ValueError: incompatible dimensions for addition
# 矩阵乘法A * 2
matrix(
[[2.0, 4.0],
[6.0, 8.0]])A / 4
matrix(
[[0.25, 0.5],
[0.75, 1.0]])A - 1
matrix(
[[0.0, 1.0],
[2.0, 3.0]])
矩阵之间的加减乘除运算,维度必须一致,否则会报错. A * B
matrix(
[[8.0, 22.0],
[14.0, 48.0]])
# 行向量*列向量matrix([[1, 2, 3]]) * matrix([[-6], [7], [-2]])
matrix(
[[2.0]])A**2
matrix(
[[7.0, 10.0],
[15.0, 22.0]])矩阵求逆:A**(-1) A
matrix(
[[1.0, 2.0],[3.0, 4.0]])A**-1
matrix(
[[-2.0, 1.0],[1.5, -0.5]])A*A**-1
matrix(
[[1.0, 1.0842021724855e-19],[-2.16840434497101e-19, 1.0]])矩阵转置:A.T A
matrix(
[[1.0, 2.0],[3.0, 4.0]])A.T
matrix(
[[1.0, 3.0],[2.0, 4.0]])矩阵行列式
对于一个方阵,mpmath.det(A)可以计算其行列式. from mpmath import mpA mp.matrix([[7, 2], [1.5, 3]])print(mp.det(A))
18.0计算范数
矩阵和向量无法直接比较大小,但可以用范数(norm)来衡量矩阵和向量的大小. 范数:将矩阵或向量映射到非负实数值,使得该值表示矩阵或向量的大小. mpmath.norm(x,p2):给定x(iterable),计算x的 p 范数 ( ∑ k ∣ x k ∣ p ) 1 / p , 1 ≤ p ≤ ∞ p范数(\sum_{k}|x_k|^p)^{1/p},\quad 1 \leq p \leq \infty p范数(∑k∣xk∣p)1/p,1≤p≤∞.
特别的:如果x不是iterable,则返回absmax(x).
p1: 绝对值范数,即 ∑ k ∣ x k ∣ \sum_{k}|x_k| ∑k∣xk∣
p2: 二范数(标准欧几里得向量范数),即 ∑ k ∣ x k ∣ 2 \sqrt{\sum_{k}|x_k|^2} ∑k∣xk∣2
pinf: 最大范数,即 max ∣ x k ∣ \max{|x_k|} max∣xk∣
需要注意的是: 如果x是矩阵,且p2,则返回Frobenius范数,即 ∑ i , j ∣ A i j ∣ 2 \sqrt{\sum_{i,j}|A_{ij}|^2} ∑i,j∣Aij∣2 . 对于算子矩阵规范使用mnorm()代替 A
matrix(
[[1.0, 2.0],[3.0, 4.0]])14916
30sqrt(30)
mpf(5.4772255750516612)norm(A,p2)
mpf(5.4772255750516612)mpmath.mnorm(A, p1): 计算矩阵A的矩阵(算子)p-范数.1.3.0版本支持p1,inf.
特别的:
p1: 矩阵(算子)max column sum 范数,即 m a x ∑ i ∣ A i j ∣ max{\sum_{i} |A_{ij}|} max∑i∣Aij∣.
pinf: 矩阵(算子)max row sum 范数,即 m a x ∑ j ∣ A i j ∣ max{\sum_{j} |A_{ij}|} max∑j∣Aij∣.
p‘f’: 矩阵(算子)Frobenius范数,相当于elementwise 2-norm.Frobenius范数是谱范数的近似值,且满足: Frobenius范数缺乏一些范数应有的数学性质 from mpmath import *mp.dps 15; mp.pretty FalseA matrix([[1, -1000], [100, 50]])mnorm(A, 1)
mpf(1050.0)mnorm(A, inf)
mpf(1001.0)mnorm(A, F)
mpf(1006.2310867787777)
# 矩阵(算子)Frobenius范数与elementwise 2-norm的比较A
matrix(
[[1.0, 2.0],[3.0, 4.0]])norm(A,p2)
mpf(5.4772255750516612)mnorm(A,pf)
mpf(5.4772255750516612)未完待续…2024.07.02
