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理解树的结构-算法通关村

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1.树的结构

• 树是一个有n个有限节点组成一个具有层次关系的集合，每个节点有0个或者多个子节点，没有父节点的节点称为根节点，也就是说除了根节点以外每个节点都有父节点，并且有且只有一个。树的种类比较多，最常见的是二又树，基本结构如下：
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• 参考上面的结构，可以很方便的理解树的如下概念：
  1. 节点的度：一个节点含有的子节点的个数称为该节点的度；
  2. 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度，注意与节点度的区别；
  3. 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；
  4. 非终端节点或分支节点：度不为0的节点；
  5. 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
  6. 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
  7. 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
  8. 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
  9. 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
  10. 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；
  11. 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
  12. 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
  13. 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；

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2 树的性质

• 性质1：在二叉树的第i层上至多有2^（i-1）个结点（i>0）
  性质2：深度为k的二叉树至多有2^k -1个结点（k>0）
  性质3：对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；
  性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2（n+1）
  性质5：对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i+1；其双亲的编号必为i/2（i=1 时为根，除外）
• 满二叉树就是如果一棵二叉树只有度为0的节点和度为2的节点，并且度为0的节点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。
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• 这棵二又树为满二叉树，也可以说深度为k=4，有2^k-1=15个节点的二又树。完全二叉树的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大 值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。
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3 树的定义

• 定义二叉树

•   public class TreeNode {int val;TreeNode left;TreeNode right;}
  

• 定义N叉树

•   public class Node {public int val;public List<Node> children;}
  

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4树的遍历方式

• 二叉树的遍历方式有层次遍历和深度优先遍历两种：
  • 深度优先遍历：先往深走，遇到叶子节点再往回走。
  •广度优先遍历：一层一层的去遍历，一层访问完再访问下一层。
  这两种遍历方式不仅仅是二叉树，N树叉也有这两种方式的，图结构也有，只不过我们更习惯叫广度优先和深度优先，本质是一回事。
  深度优先又有前中后序三种，记住一点：前指的是中间的父节点在遍历中的顺序，只要大家记住前中后序指的就是父节点在访问中的顺序就可以了。
  前序遍历：中左右 中序遍历：左中右 后序遍历：左右中
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5 通过序列构造二叉树

• 前面我们已经介绍了前中后序遍历的基本过程，现在我们看一下如何通过给出的序列来恢复原始二叉树，看三个序列：
  （1）前序：1 2 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 15 14
  （2）中序：3 4 8 6 7 5 2 1 10 9 11 15 13 14 12
  （3） 后序：8 7 6 5 4 3 2 10 15 14 13 12 11 9 1

5.1前中序列复原二叉树

• 先看如何通过前中序列复原二叉树：

• （1）前序：1 2 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 15 14
  （2）中序：3 4 8 6 7 5 2 1 10 9 11 15 13 14 12

• 第一轮

• 我们知道前序第一个访问的就是根节点，所以根节点就是1。
  中序遍历的特点是根节点的左子树的元素都在根节点的左侧，右子树的元素都在根节点的右侧，从中序遍历序列我们可以划分成如下结构：

• 前序中序划分：
  中序序列划分：[3 4 8 6 7 5 2 ] 1 [10 9 11 15 13 14 12]
  前序序列划分：1 [2 3 4 5 6 8 7] [9 10 11 12 13 15 14]

• 上面前序序列第一个括号里的都是左子树的元素，第二个括号一定都是右子树的元素。参照中序的两个数组划分的。我们看到前序中7之前的元素都在中序第一个数组中，9之后的所有元素就在第二个数组种，所以我们从7和9之间划分。
  由此，画图表示一下此时知道的树的结构为：

• 

• 第二轮

• 我们先看两个序列的第一个数组：
  前序：2 3 4 5 6 8 7 中序：3 4 8 6 7 5 2
  此时又可以利用上面的结论划分了：根节点是2，然后根据2在中序中的位置可以划分为：

• 序列
  前序： 2 [3 4 5 6 8 7]
  中序：[3 4 8 6 7 5 ] 2

• 此时树的结构为：

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• 第三轮：

• 对 3 4 5 6 8 7 继续划分 ： 前序：3 [4 5 6 8 7] 中序：3 [ 4 8 6 7 5 ] 此时结构为：

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• 第四轮

• 对 4 5 6 8 7 继续划分：前序： 4 [5 6 8 7 ] 中序：4 [8 6 7 5 ]

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• 第五轮：

• 对 5 6 8 7 继续划分：前序：5 [6 8 7 ] 中序：[8 6 7] 5

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• 同理，对序列 [10 9 11 15 13 14 12]，进行划分：

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5.2 通过中序和后序序列恢复二叉树

• 通过中序和后序也能恢复原始序列的，唯一的不同是后序序列的最后一个是根节点，中序的处理也是上面一样的过程：
  前序：12345687910 1112 1315 14
  中序： 3486752110911 15 13 14 12
  后序：876543210 15 14 13 12 1191
  可以自行试一试，不再赘述。
  问题：为什么前序和后序不能恢复二叉树
  既然上面两种都行，那为什么前序和后序不行呢？我们看上面的例子：
  （1） 前序： 123456879 10 1112 13 15 14
  （2） 后序：87654321015 141312 1191
  后序：876543210 15 14 13 12 1191
  可以自行试一试，不再赘述。
  问题：为什么前序和后序不能恢复二叉树
  既然上面两种都行，那为什么前序和后序不行呢？我们看上面的例子：
  （1） 前序： 123456879 10 1112 13 15 14
  （2） 后序：87654321015 141312 1191
• 根据上面的说明，我们通过前序可以知道根节点是1，通过后序也能知道根节点是1，但是中间是怎么划分的呢？其他元素哪些属于左子树，哪些属于右子树呢？很明显通过两个序列都不知道，所以前序和后序序列不能恢复二叉树。