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做网站42类商标怎么选小类,渭南网站建设远景,短视频剪辑哪里学,淘宝网站网页图片怎么做的如题,在今天学习线性代数时,觉得书上对于施密特正交化部分的解释还不够明了(作者用的是同济版的线性代数,对于农科学生来说可能不够明了),于是就想到能不能用通俗易懂的方法把这个知识呈现出来,…

        如题,在今天学习线性代数时,觉得书上对于施密特正交化部分的解释还不够明了(作者用的是同济版的线性代数,对于农科学生来说可能不够明了),于是就想到能不能用通俗易懂的方法把这个知识呈现出来,于是就有了这篇文章,话不多说,直接进入正题

一.施密特正交化

        设 \boldsymbol{a_{1}\cdot \cdot \cdot a_{r}} 是向量空间 \boldsymbol{V} 的一个基,要求 \boldsymbol{V} 的一个标准正交基。这也就是要找一组两两正交的单位向量 \boldsymbol{e_{1},\cdot \cdot \cdot ,e_{r}} 与 \boldsymbol{a_{1}\cdot \cdot \cdot a_{r}} 等价。这样一个问题,称为把基 \boldsymbol{a_{1}\cdot \cdot \cdot a_{r}} 标准正交化。

我们可以用以下方法把 \boldsymbol{a_{1}\cdot \cdot \cdot a_{r}} 标准正交化:取

\boldsymbol{b_{1} = a_{1}}

\boldsymbol{b_{2} = a_{2} - \frac{\left [ b_{1} , a_{2}\right ]}{\left [ b_{1} , b_{1}\right ]}b_{1}}
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot

\boldsymbol{b_{r} = a_{r} - \frac{\left [ b_{1} , a_{r}\right ]}{\left [ b_{1} , b_{1}\right ]}b_{1} - \frac{\left [ b_{2} , a_{r}\right ]}{\left [ b_{2} , b_{2}\right ]}b_{2} - \cdot \cdot \cdot - \frac{\left [ b_{r-1} , a_{r}\right ]}{\left [ b_{r-1} , b_{r-1}\right ]}b_{r-1}}

然后把它们单位化,即取

\boldsymbol{e_{1}=\frac{1}{\left \| b_{1} \right \|}b_{1}},\boldsymbol{e_{2}=\frac{1}{\left \| b_{2} \right \|}b_{2}},\cdot \cdot \cdot ,\boldsymbol{e_{r}=\frac{1}{\left \| b_{r} \right \|}b_{r}}

就是 \boldsymbol{V} 的一个标准正交基。

上述从线性无关向量组 \boldsymbol{a_{1}\cdot \cdot \cdot a_{r}} 导出正交向量组 \boldsymbol{b_{1}\cdot \cdot \cdot b_{r}} 的过程称为施密特正交化。

二.“通俗”理解施密特正交化

        在开始之前,默认你已经知道了内积等学习施密特正交化需要的一些基本知识

        我知道,定义总是晦涩难懂的,想要通俗的理解就要从别的角度去思考,而对人类来说,图形恰恰是理解记忆的好方式,下面我将以数形结合的方式来带你了解这个定理。

余弦定理与向量距离

        在平面直角坐标系中,假设有向量 \boldsymbol{\vec{l},\vec{m}} ,如图(懒得作图了,顺便展示一下子画工)

在这三角形AOC中,对A,B距离的平方,有

        余弦定理:\boldsymbol{\left | \vec{l}-\vec{m}\right |^{2}=\left | \vec{l} \right |^{2}+\left | \vec{m} \right |^{2}-2\left | \vec{l} \right |\left | \vec{m} \right |\cos \theta }

        坐标:\boldsymbol{\left ( x_{1}-x_{2} \right )^2+\left ( y_{1}-y_{2} \right )^2=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})}

显然,两式中后一项相等

\boldsymbol{}\boldsymbol{-2\left | \vec{l} \right |\left | \vec{m} \right |\cos \theta=-2(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})}

即,向量\boldsymbol{\vec{l},\vec{m}}的内积为

\boldsymbol{\left [ \boldsymbol{\vec{l},\vec{m}} \right ]=\left | \vec{l} \right |\left | \vec{m} \right |\cos \theta=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}

正文

        现在,回到公式中,我们不妨把问题简化一下,假设向量空间是二维空间

        设在二维空间中,有正交向量 \boldsymbol{\vec{b_{1}},\vec{b_{2}}} ,任意向量 \boldsymbol{\vec{a_{1}},\vec{a_{2}}} ,由正交向量性质可知,一对正交向量必然共面且垂直,而平面直角坐标系的坐标轴恰恰具有这个性质,那么由 \boldsymbol{\vec{b_{1}} = \vec{a_{1}}} ,不妨建在\boldsymbol{\vec{a_{1}},\vec{a_{2}}}所在的平面建立平面直角坐标系,并设任意向量\boldsymbol{\vec{a_{1}}}与y轴重合,如图:

        回到施密特正交化的目的,其意义就是将一组任意向量通过初等变换化为正交向量,而向量的初等变换正是向量在直角坐标系中的坐标变换,

        即,其目的就是(二维平面)将一对向量,使其中一个向量与x或y轴重合,另一向量通过变换使其与另一坐标轴重合,这样就达到了正交化

明白了其中的原理之后,我们再回到式子中,来看看如何理解这冗杂的东西

还是在二维平面中,有

\boldsymbol{\vec{b_{1}} = \vec{a_{1}}}

\boldsymbol{\vec{b_{2}} = \vec{a_{2}} - \frac{\left [ \vec{b_{1}} , \vec{a_{2}}\right ]}{\left [ \vec{b_{1}} , \vec{b_{1}}\right ]}\vec{b_{1}}}

第一个式子不做过多解释,正是前文所提的“设任意向量\boldsymbol{\vec{a_{1}}}与y轴重合”的情况

我们来仔细研究第二个式子,首先将式子写为

\boldsymbol{\vec{b_{2}} = \vec{a_{2}} - k\vec{b_{1}}}

其中 \boldsymbol{k=\frac{\left [ \vec{b_{1}} , \vec{a_{2}}\right ]}{\left [ \vec{b_{1}} , \vec{b_{1}}\right ]}},为常数

不难发现,式子右侧部分的几何意义如下图:

显然 \boldsymbol{k} 的作用就是找到一个合适的向量 \boldsymbol{\vec{a_{2}}-k\vec{b_{1}}} 使之与x轴平行

现在我们来研究系数 \boldsymbol{k} 的意义

\boldsymbol{k\vec{b_{1}}=\frac{\left [ \vec{b_{1}} , \vec{a_{2}}\right ]}{\left [ \vec{b_{1}} , \vec{b_{1}}\right ]}\vec{b_{1}}}

由上文中通过两向量推到的公式:

\boldsymbol{\left [ \boldsymbol{\vec{l},\vec{m}} \right ]=\left | \vec{l} \right |\left | \vec{m} \right |\cos \theta=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}

结合一些简单的变形,不难得到

\boldsymbol{k\vec{b_{1}}=\frac{\left | \vec{a_{2}} \right |\left | \vec{b_{1}} \right |\cos \theta}{(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})}=\frac{\left | \vec{a_{2}} \right |\cos \theta }{\left | \vec{b_{1}} \right |}\vec{b_{1}}=\left | \vec{a_{2}} \right |\cos \theta \vec{e_{1}}}

其中 \boldsymbol{\vec{e_{1}}} 则为单位化后的 \boldsymbol{\vec{b_{1}}},即与 \boldsymbol{\vec{b_{1}}} 共线的单位向量

则 \boldsymbol{b_{2}} 的表达式为

\boldsymbol{\vec{b_{2}} = \vec{a_{2}} -\left | \vec{a_{2}} \right |\cos \theta\vec{e_{1}}}

其实到这里就已经很明显了,\boldsymbol{k} 的意义就是先将 \boldsymbol{\vec{b_{1}}} 单位化,再将其长度化为与向量 \boldsymbol{\vec{a_{2}} } 在y轴上的投影等长,这样就解释了为什么 \boldsymbol{k} 可以将 \boldsymbol{\vec{b_{1}}} 放缩到合适的长度使得 \boldsymbol{\vec{a_{2}}-k\vec{b_{1}}} 使之与x轴平行

至此,在二维平面上的施密特变换就已经完毕

        在三维平面时规律也是如此,你可以把它通俗的理解为有一个鸡爪子,如果选定了一个脚趾作为“参考”,那么正交化鸡爪子的过程就是将另外一个掰到与参考脚趾垂直,将最后一个掰到与前面两个垂直

        如若上升到n维,作者暂时还没想好怎样通俗理解,目前就当作二维的推广来记忆即可,如果有更好的通俗易懂的方法,欢迎评论交流!

ps:作者数学不是很好,可能有些部分不严谨,敬请指正!

http://www.yayakq.cn/news/619887/

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