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news 2025/9/18 16:14:05

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【LetMeFly】53.最大子数组和：DP 或递归

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

1 <= nums.length <= 10⁵
-10⁴ <= nums[i] <= 10⁴

进阶：如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

方法一：DP

使用动态规划的话思路比较简单，使用一个变量 $c n t$ 记录以当前元素为结尾的最大子数组和。

这样，我们只需要遍历一遍 $n u m s$ 数组，使用公式 $\max(cnt + nums[i], nums[i])$ 维护 $c n t$ ，并记得更新答案的最大值即可。

时间复杂度 $O (l e n (n u m s))$
空间复杂度 $O (1)$

AC代码

C++

class Solution {
public:int maxSubArray(vector<int>& nums) {int ans = nums[0];int cnt = nums[0];for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {cnt = max(cnt + nums[i], nums[i]);ans = max(ans, cnt);}return ans;}
};

Python

# from typing import Listclass Solution:def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:ans, cnt = nums[0], nums[0]for i in range(1, len(nums)):cnt = max(cnt + nums[i], nums[i])ans = max(ans, cnt)return ans

方法二：递归（分治）

写一个函数 $g e t (n u m s, l, r)$ ，返回 $n u m s$ 数组从 $l$ 到 $r$ 的子数组的：

lSum: 以 $n u m s [l]$ 为起点的最大子数组和
rSum: 以 $n u m s [r]$ 为终点的最大子数组和
MSum: 最大子数组和
iSum: 和

那么，我们就可以愉快地进行递归啦！

对于 $g e t (n u m s, l, r)$ ，我们可以分别求出 $\lfloor\frac{l + r}{2}\rfloor)$ （记为 $lSt a t u s$ ）和 $\lfloor\frac{l + r}{2}\rfloor + 1, r)$ （记为 $r St a t u s$ ）。递归终止条件为 $l = r$ （只有单个元素）。

于是就有：

$\max(lStatus.lSum, lStatus.iSum + rStatus.lSum)$ （以 $n u m s [l]$ 为起点，不跨过 $nums[\lfloor\frac{l + r}{2}\rfloor]$ 和跨过）
$\max(rStatus.rSum, lStatus.rSum + rStatus.iSum)$ （以 $n u m s [r]$ 为终点，不跨过 $nums[\lfloor\frac{l + r}{2}\rfloor]$ 和跨过）
$\max(lStatus.MSum, rStatus.MSum, lStatus.rSum + rStatus.lSum)$ （左半部分最大子数组和、右半部分最大子数组和、跨过 $nums[\lfloor\frac{l + r}{2}\rfloor]$ 的子数组和）
$i S u m = lSt a t u s . i S u m + r St a t u s . i S u m$ （左半右半数组和之和）

最终返回 $g e t (n u m s, 0, l e n (n u m s) - 1) . MS u m$ 即可。

时间复杂度 $O (l e n (n u m s))$ （相当于后序遍历了一遍二叉树）
空间复杂度 $O(\log len(nums))$ （空间复杂度主要来源于递归）

AC代码

C++

struct Status {int lSum, rSum, MSum, iSum;
};class Solution {
private:Status get(vector<int>& a, int l, int r) {  // get[l, r]if (l == r) {return {a[l], a[l], a[l], a[l]};}int m = (l + r) >> 1;Status lStatus = get(a, l, m);Status rStatus = get(a, m + 1, r);return {max(lStatus.lSum, lStatus.iSum + rStatus.lSum),max(rStatus.rSum, lStatus.rSum + rStatus.iSum),max(lStatus.MSum, max(rStatus.MSum, lStatus.rSum + rStatus.lSum)),lStatus.iSum + rStatus.iSum};}
public:int maxSubArray(vector<int>& nums) {return get(nums, 0, nums.size() - 1).MSum;}
};

Python

# from typing import Listclass Status:def __init__(self, lSum: int, rSum: int, MSum: int, iSum: int) -> None:self.lSum = lSumself.rSum = rSumself.MSum = MSumself.iSum = iSumclass Solution:def get(self, nums: List[int], l: int, r: int) -> Status:if l == r:return Status(nums[l], nums[l], nums[l], nums[l])m = (l + r) >> 1lStatus = self.get(nums, l, m)rStatus = self.get(nums, m + 1, r)return Status(max(lStatus.lSum, lStatus.iSum + rStatus.lSum),max(rStatus.rSum, lStatus.rSum + rStatus.iSum),max(lStatus.MSum, rStatus.MSum, lStatus.rSum + rStatus.lSum),lStatus.iSum + rStatus.iSum)def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:return self.get(nums, 0, len(nums) - 1).MSum"""为何不用切片作为参数？
>>> a = [1, 2, 3]
>>> a
[1, 2, 3]
>>> b = a[1:2]
>>> b
[2]
>>> b[0] = 99
>>> a
[1, 2, 3]
>>> b
[99]
"""