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激活函数的公式根据不同的函数类型而有所不同。以下是一些常见的激活函数及其数学公式：

1. Sigmoid函数：
   • 公式：f(x)=
   • 特性：输出范围在0到1之间，常用于二分类问题，将输出转换为概率值。但存在梯度消失问题，尤其在输入值较大或较小时。
2. Tanh函数（双曲正切函数）：
   • 公式：f(x)=
   • 特性：输出范围在-1到1之间，具有更广的取值范围，且均值为0，可以中心化输入信号。但也存在梯度消失问题。
3. ReLU（Rectified Linear Unit）函数：
   • 公式：f(x)=max(0,x)
   • 特性：当x<0时，输出为0；当x>0时，输出为x。ReLU函数计算简单，速度快，且解决了梯度消失问题（在x>0的区域）。但存在“死区”问题，即当x<0时，梯度为0。
4. Leaky ReLU函数：
   • 公式：f(x)=max(αx,x)（其中α是一个很小的正数，如0.1）
   • 特性：Leaky ReLU函数试图解决ReLU的“死区”问题，当x<0时，输出为αx而不是0。
5. Softmax函数：
   • 公式：softmax(xi​)=（其中xi​是输入向量中的第i个元素，N是输入向量的维度）
   • 特性：Softmax函数是多分类任务中常用的激活函数，它将每个类别的输出转换为概率分布。

以上这些激活函数在神经网络中起着至关重要的作用，它们通过添加非线性因素，使得神经网络能够学习和拟合复杂的真实世界系统。