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问题的基本形式

设$n$维系统状态房产$\dot{x}(t)=f[x(t),u(t),t]$，控制向量$u(t)\in \Omega$是分段连续函数，$\Omega \in R^m$是有界闭集，满足约束$g[x(t),u(t),t]\ge 0$，终端时刻固定为$t_f$。目标是使状态从初态$x(t_0)=x_0$转移到终态$x(t_f)$，其中$G[x(t_f),t_f]=0$，且使得性能指标$J[u(t)]=\Phi [x(t_f),t_f]+{\int }_{t_0}^{t_f}L[x(t),u(t),t]dt$达到最小。

基本解法

构造Hamilton函数$H[x(t),u(t),\lambda (t),t]=L[x(t),u(t),t]+\lambda (t{)}^{T}f[x(t),u(t),t]$ 。设$u^{\ast }(t)$为最优控制，$x^{\ast }(t)$是最优轨线，则存在与$u=u^{\ast }(t)$和$x=x^{\ast }(t)$对应的最优伴随向量$\lambda ={\lambda }^{\ast }(t)$，使得：$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial \lambda }\\ \dot{\lambda }=-\frac{\partial H}{\partial x}\end{array}$$
其中，$u^{\ast }=\arg {\min }_{u\in \Omega }H[x^{\ast }(t),u(t),{\lambda }^{\ast }(t)]$；

上述方程同时还满足边界条件$x(t_0)=x_0,G[x(t_f),t_f]=0$；

横截条件$\lambda (t_f)=\frac{\partial \Phi (t_f)}{\partial x}+[\frac{\partial G(t_f)}{\partial x}{]}^{T}v$。

数值解法

直接法

在考虑控制量约束$g[x(t),u(t),t]\ge 0$和终端约束$G[x(t_f),t_f]=0$存在的条件下，需要对原来的性能指标$J[u(t)]$加罚函数项得到$\bar{J}[u(t)]$：
$$\bar{J}[u(t)]=J[u(t)]+\mu \sum _{i=1}^r{G}_i[x(t_f),t_f{]}^2+\eta {\int }_{t_0}^{t_f}\sum _{i=1}^l\min (g_i,0{)}^{2}dt$$
直接法多采用梯度法及其变型进行求解，具体的计算步骤如下：

Step1. 根据经验选定初始控制$u^0(t)$，允许误差$\epsilon >0$；

Step2. 将$u^0(t)$代入状态方程并求解得到$x^0(t)$；

Step3. 计算$\bar{J}[u^0(t)]$，并根据协态方程从$t_f$到$t_0$反向积分计算${\lambda }^0(t)$；

Step4. 计算$u^0$处的梯度$\nabla \bar{J}[u^0(t)]=\frac{\partial H[x^0(t),u^0(t),{\lambda }^0(t),t]}{\partial u}$；

Step5. 确定搜索步长${\alpha }^0=\arg {\min }_{\alpha >0}\bar{J}[u^0-\alpha \nabla \bar{J}[u^0(t)]]$；

Step6. 修正控制向量$u^1(t)=u^0(t)-{\alpha }^0\nabla \bar{J}[u^0(t)]$；

Step7. 若满足终止条件$||\nabla \bar{J}[u^0(t)]||\le \epsilon$，则结束循环；否则，令$u^0=u^1$回到Step2.

Step2和Step3往往是比较难计算的。

另外，若$u(t)$满足上下界限约束，则在Step6中需要对$u(t)$进行限幅。而针对横截条件中的$v$可以采用$2\mu G$估算：
$${\lambda }_i(t_f)=\frac{\partial \Phi (t_f)}{\partial x_i}+\sum _{j=1}^{r}2\mu G_j[x(t_f),t_f]\frac{\partial G_j(t_f)}{\partial x_i}$$

间接法

直接法中修正后的控制向量$u$不一定满足约束$g\ge 0$，而是通过施加罚函数，限幅等手段进行迭代。而间接法则是尽量充分保证$u$能满足约束$g\ge 0$，这里给出间接法中的拟线性化方法实现逼近。该方法的核心是首先求出$u(x,\lambda ,t)$带入正则方程，引入增广状态$Y(t)=[x(t),\lambda (t){]}^T,Y(t)\in R^{2n}$，将正则方程转化为$\dot{Y}=g(Y,t)$，再将该方程进一步线性化得到：
$${\dot{Y}}^{K+1}=(\frac{\partial g}{\partial Y}{)}_K{Y}^{K+1}+[g(Y^K,t)-(\frac{\partial g}{\partial Y}{)}_K{Y}^K]$$
其中，$Y^K$代表第$K$步迭代的解。若对于给定的$\epsilon >0$，当$||Y^{k+1}(t)-Y^k(t)||\le \epsilon$时停止计算。