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❓378. 有序矩阵中第 K 小的元素

难度：中等

给你一个 $nxn$ 矩阵 $matrix$ ，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意，它是 排序后 的第 k 小元素，而不是第 k 个 不同 的元素。

你必须找到一个内存复杂度优于 $O(n^2)$ 的解决方案。

示例 1：

输入：matrix = [[1,5,9],[10,11,13],[12,13,15]], k = 8
输出：13
解释：矩阵中的元素为 [1,5,9,10,11,12,13,13,15]，第 8 小元素是 13

示例 2：

输入：matrix = [[-5]], k = 1
输出：-5

提示：

• n == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= n <= 300
• $-10^9<=matrix[i][j]<=10^9$
• 题目数据 保证 matrix 中的所有行和列都按 非递减顺序 排列
• $1<=k<=n^2$

进阶：

• 你能否用一个恒定的内存(即 $O(1)$ 内存复杂度)来解决这个问题?
• 你能在 $O(n)$ 的时间复杂度下解决这个问题吗?这个方法对于面试来说可能太超前了，但是你会发现阅读这篇文章（ this paper ）很有趣。

💡思路：

法一：二分查找

找出二维矩阵中最小的数 l，最大的数 h，我们取中位数 mid = (l ＋ h) / 2，在二维矩阵中寻找小于等于 mid 的元素个数cnt：

• 若这个cnt 小于k，表明第k小的数在右半部分且不包含mid，即 l = mid + 1，h不变；
• 若这个cnt 大于等于k，表明第k小的数在左半部分且可能包含 mid，即 l 不变, h = mid - 1;
• 当l > h 时，第 k 小的数即被找出，等于l。

法二：归并排序

由题目给出的性质可知，这个矩阵的每一行均为一个有序数组。问题即转化为从这 n 个有序数组中找第 k 大的数，可以想到利用归并排序的做法，归并到第 k 个数即可停止。

一般归并排序是两个数组归并，而本题是 n 个数组归并，所以需要用小根堆维护，以优化时间复杂度。

🍁代码：(Java、C++)

法一：二分查找
Java

class Solution {public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {int n = matrix.length;int l = matrix[0][0], h = matrix[n - 1][n - 1];while(l <= h){int mid = l + (h - l) / 2;int cnt = 0;for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n && matrix[i][j] <= mid; j++){cnt++;}}if(cnt < k) l = mid + 1;else h = mid - 1;}return l;}
}

C++

class Solution {
public:int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {int n = matrix.size();int l = matrix[0][0], h = matrix[n - 1][n - 1];while(l <= h){int mid = l + (h - l) / 2;int cnt = 0;for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n && matrix[i][j] <= mid; j++){cnt++;}}if(cnt < k) l = mid + 1;else h = mid - 1;}return l;}
};

法二：归并排序
Java

class Solution {public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {PriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<int[]>(new Comparator<int[]>() {public int compare(int[] a, int[] b){return a[0] - b[0];}});int n = matrix.length;for(int i = 0; i < n; i++){//第一列分别为n数组的头结点pq.offer(new int[] {matrix[i][0], i, 0});}for(int i = 0; i < k - 1; i++){int[] now = pq.poll();//弹出最小的那个if(now[2] != n - 1){//不是一行的最后一个元素pq.offer(new int[]{matrix[now[1]][now[2] + 1], now[1], now[2] + 1});}}return pq.poll()[0];}
}

C++

class Solution {
public:int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {struct point{int val, x, y;point(int val, int x, int y): val(val), x(x), y(y){};bool operator> (const point& a)const{return this->val > a.val;}};priority_queue<point, vector<point>, greater<point>> que;int n = matrix.size();for(int i = 0; i < n; i++){que.emplace(matrix[i][0], i, 0);}for(int i = 0; i < k - 1; i++){point now = que.top();que.pop();if(now.y != n - 1){que.emplace(matrix[now.x][now.y + 1], now.x, now.y + 1);}}return que.top().val;}
};

🚀 运行结果：

🕔 复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(nlog(r-l))$，二分查找进行次数为 $O(nlog(r-l))$, 每次操作时间复杂度为$O(n)$。归并排序时间复杂度为$O(klogn)$，归并 k 次，每次堆中插入和弹出的操作时间复杂度均为$logn$。
• 空间复杂度：$O(1)$；归并排序空间复杂度为$O(n)$，堆的大小始终为 n。

题目来源：力扣。

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