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news 2025/9/17 19:55:59

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C++二叉搜索树

1. 二叉搜索树的概念

二叉搜索树（BST,Binary Search Tree)，也称为二叉排序树或二叉查找树。它与一般二叉树的区别在于：每个结点必须满足“左孩子大于自己，右孩子小于自己”的规则。在这种规则的约束下，二叉搜索树使用中序遍历出来的数据是一个由小到大排列的结果。

在这里插入图片描述

优点：

查找某个值最多只需要遍历高度次即可，效率高。
使用中序遍历出来的数据是有序的。

缺点：

结点的值不允许修改，否则破坏树的结构。

2. 二叉搜索树的插入

二叉搜索树的插入很简单，首先用插入的值从根结点开始比较。插入值小于结点值向左，插入值大于结点值向右，直到结点的左孩子或右孩子为空时结束，为空的位置就是插入的位置。

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4作为插入结点的值，先找到6是插入结点的父结点，再判断4和6的大小关系，4<6，所以插入在6的左边。

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7作为插入结点的值，先找到6是插入结点的父结点，再判断7和6的大小关系，7>6，所以插入在6的右边。

3. 二叉搜索树的删除

二叉搜索的删除需要分两种情况：

3.1 删除的结点是叶子结点

如果删除的结点是叶子结点，将该结点的父结点指针制空，再释放该结点即可。

在这里插入图片描述

3.2 删除的结点不是叶子结点

如果删除的结点不是叶子结点，可以分为三种情况讨论：

3.2.1 左子树为空

如果删除的结点的左子树为空，此时需要判断删除结点与其父子树的关系：我是父结点的左孩子，就让父结点的左指向我的右子树；我是父结点的右孩子，就让父结点的右指向我的右子树

在这里插入图片描述

3.2.2 右子树为空

右子树为空，原理与上相同，只是父结点改变的是左的指向。

在这里插入图片描述

3.2.3 左右子树不为空

如果删除结点的左右子树都不为空，那么此时就需要使用替换法的思想。替换法可以使用左子树的最大结点或右子树的最小结点作为替换结点来替换当前结点，再将替换结点删除。所谓“替换”在实际操作中不是把两个结点的值互换，而是将替换结点的值赋给原删除结点，因为替换节点最终要删除，所以不必要对其进行真正的替换操作。

使用最左结点替换：

在这里插入图片描述

使用最右结点替换：

在这里插入图片描述

4.二叉搜索树的退化问题

二叉搜索树的最优情况下，查找效率为logN。但当插入的顺序有序或部分有序时，二叉搜索树的查找效率会下降，极端情况下会退化至N

在这里插入图片描述

按{10，9，8，7，6，5，4}的顺序插入，导致二叉搜索树完全退化。

5. 参考代码

template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{BSTreeNode<K, V>* _left;BSTreeNode<K, V>* _right;K _key;V _value;BSTreeNode(const K& key,const V& value):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key),_value(value){}
};template<class K, class V>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key, value);{if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else{return cur;}}return nullptr;}bool Erase(const K& key){//先找到该结点Node* cur = _root;Node* parent = cur;while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{//如果删除的是叶子结点，直接删除if (cur->_left == nullptr && cur->_right == nullptr){if (cur == parent->_left)parent->_left = nullptr;else if (cur == parent->_right)parent->_right = nullptr;delete cur;}//如果左为空else if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else if (cur == parent->_right){parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}//如果右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else if (cur == parent->_right){parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}// 如果左右都不为空else{//查找右子树的最左结点替换Node* RightMinParent = cur;Node* RightMin = cur->_right;while (RightMin->_left){RightMinParent = RightMin;RightMin = RightMin->_left;}cur->_key = RightMin->_key;cur->_value = RightMin->_key;cur->_value = RightMin->_value;if (RightMinParent->_left == RightMin){RightMinParent->_left = nullptr;}else{RightMinParent->_right = nullptr;}delete RightMin;}return true;}}return false;}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}
private:Node* _root = nullptr;
};

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