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来了来了，切向量，切空间。流形上的所有的线性泛函的集合，注意是函数的集合。然后取流形上的某点p，它的切向量为，线性泛函到实数的映射。没错，是函数到实数的映射，是不是想到了求导。我们要逐渐熟悉把函数作为一个自变量，而且的它的因变量可以是一个实数。而且这个切向量是线性的，还有个导子我也不太明白，但有点类似于对偶空间里的那种概念。
总之，满足条件的就是方向偏导数这个算子。导子就是求导乘积公式吧。
这里还有一点，因为是函数的集合，其实我们在想象其几何意义的时候是比较困难的。首先流形你可以想象成一个光滑的曲面，但是流形上的泛函你是很难继续想象几何意义的。
这里的意思是说切空间是一个超平面，那么它是什么曲面上的超平面呢？这个曲面代表什么呢？我们想一下，正常来表示一个曲面，可能需要类似
x=x(u,v)
y=y(u,v)
z=z(u,v)
这样一个参数方程。从流形的角度考虑，u,v其实就是R^2的空间，而x,y,z就是拓扑流形。它上面的光滑标量场可以认为是(x,y,z)到R^2的同胚，然后在泛函到R上。也就是说，三维空间下的一个二维曲面是一个微分流形，我们取它的一个局部，它应该同胚于R^2，然后我们应该有一个到R的映射，这就是它的泛函。为什么要进入这样一个标量场呢：
所以我们不妨假设现在这个坐标它有一个物理标量和它对应即可。这样我们得到了一个叫做“场”的东西，所以，如果说流形是一个可以想象的光滑曲面，那我们现在对上面的每一个坐标取一个标量函数，那么就会得到一个“场”。要注意，这个场表示的是这个映射的本身，而不是映射后的值。这个场我们可以具象化为磁场，电场等。然后考虑切空间，它是作用在这个映射上，或者说作用在这个“场”上的偏导方向算子，特殊一点就是梯度（变化最快的一个方向）。每一个方向导数的结果就是一个“斜率”，理论上我们可以写出这个斜率下经过p点的“直线方程”，我们把所有的方向全部组合在一起，所有的直线就变成了平面，也就是这个场的超平面。回到数学分析的课本上，它首先就定义了一个标准坐标t,然后参数方程x=x(t),后面要对这个方程求导，所以这个方程就是我们的“场”。这个场有完整的坐标结构，t是“x轴”，x是“y轴”。可以想象成一个曲面，后面求导得到的切平面和我们前面说的就是一一对应的了。
不过既然x=x(t)是场，那么它的标量函数应该就是x1=x1(t), x2=x2(t).... 所以t就是标准的流形吧。
不过因为x和t同胚，可以把x理解成流形，t理解成R^n空间也是可以的。
其实我们经常说的曲面，或者函数图像，它的本质就是映射本身。而不是单纯的探讨定义域和值域。一般来说，定义域和值域应该更多的都是单纯的多面体才对。
这个定义要好好理解，首先它定义了经过p点的参数曲线的合集。首先把一个极小的区间映射到R^n空间，然后这个是和流形M是同胚的。在R^n中，我们想找到一个小区间到R^n映射的切向量，那么就是单纯的在R^n空间下求导数即可。这个思路应该是这样：例如3维空间下的二维曲面，我们想要抛弃三维的嵌入概念，直接把它的二维同胚给拿来分析，然后用一维的曲线先去做一个参数映射，得到二维空间下的曲线。求个导就是对应的切向量了，把这些所有的曲线集合起来，那么就得到了切空间。这里其实用到了一个小知识点，我们要求导，其实就是固定一个轴，然后对另一个轴求变化率。就像曲面是uv坐标轴构成的，那么我们可以固定u轴，对v求导即可。其实就偏导的概念了。
这里的符号比较微妙，TM下面少了个p，所以就是任何M上的点的所有切向量的有序对的集合。切向量是有很多的，因为方向导数有无数个方向。
要牢记，切丛是所有切向量有序对的集合，而向量场是切丛的一个截影，是一个映射。其实有序对就是一个映射。
说的有道理，非数学系我也觉得这样就够了。注意“场”是一个映射，把流形映射到一个标量上，形成的一个“场”，这个场是映射本身的性质。
这个定义对我可能有点奇怪，流形上的第一个标量场继续求方向导数，得到第二个标量场。不过也对，本来求导后得到的是一个切空间，但现在考虑的是完整的流形M，那么所有的切空间的合集应该还是一个标量场。不过这里应该是直接拿到切空间某一个方向的导数即可。而不是全部的切空间。
来到对偶空间。和前面类似，我们分析一个空间，也要分析这个空间上建立的泛函映射，这个映射就是对偶空间。
对偶基的概念，其实就是在原来基的基础上，映射到0还是1的问题。感觉是可以化成标准基的意思。
这里应该作者写错了，参考线性代数应该这样学：90页
就是说v和v**是自然同构，他们的同构定义是需要满足一定的关系的。
为什么这么复杂，还要继续定义切空间上面的对偶空间哦。
定义太多了，然我们回到微分的主题上，看有没有办法用最好的办法记忆。