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线性代数研究对象

• 线性代数的研究对象主要是行列式和矩阵(向量)
• 矩阵这种对象可以做的操作和运算很多,特别是方阵,它们的计算量天然就有较大的特点,
• 例如:伴随矩阵的计算,矩阵乘法,计算逆矩阵等,其中又以矩阵乘法运算最为重要,几乎贯穿整个学科的始终,是许多其他概念和计算的基础

主要问题

为了解决几个重要问题,提出了许多概念,例如秩,初等变换和基于这些概念的方法

1. 矩阵方程和线性方程组的解
2. 向量组的线性相关性
3. 特征值和特征向量问题
   • 矩阵(方阵)相似对角化问题
   • 二次型问题

联系

• 向量组线性相关问题和特征值和特征向量问题,本质上可以转化为线性方程组的解的问题

  • 例如向量组$A$线性相关用线性方程组描述为$\mathbf{Ax}=0$(1)存在非零解,这又等价于$R(A)<n$问题(其中$n$为$\mathbf{x}$的维数,或向量组$A$包含的向量个数)

  • 向量组$B$能够由$A$线性表出,则$\mathbf{AX}=\mathbf{B}$(2)有解

  • 矩阵$\mathbf{A}$关于特征值$\lambda$的特征向量$\mathbf{A}\alpha =\lambda \alpha$(3)求解,可以转换为线性方程组$(\lambda \mathbf{E}-A)\alpha =0$(3-1)或$(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})\alpha =0$(3-2)有求非零解问题(方程(3,3-1,3-2)是等价方程)

    • 其中行列式$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|$(4)是方阵$\mathbf{A}$的特征多项式,根据Cramer法则,方程(3-1)具有非零解的条件是(4)取$0$
    • 由此可以求出所有特征值
    • 再分别求出矩阵$\mathbf{A}$的属于每个特征值的特征向量,也就是求线性方程组$\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}=0$的解

  • 特征值和特征向量为矩阵相似对角化可行性的判定作铺垫,矩阵$A$的$k_i$重特征值${\lambda }_i$具有$k_i$个线性无关特征向量时,矩阵$A$可以对角化

  • 二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)$=${\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$的问题,本质上二次型的对称阵$\mathbf{A}$问题

    • 二次型标准化问题对应于$\mathbf{A}$的相似对角化问题

      • 对称阵$\mathbf{A}$一定可以相似对角化,而且是正交相似对角化,

      • 一定存在正交阵$\mathbf{Q}$(${\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}={\mathbf{Q}}^{-1}$)使得${\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}\mathbf{AQ}$=${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{AQ}$=$\Lambda$

      • 或者说$\mathbf{A}$相似且合同于某个对角阵$\Lambda$=$\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$,其中${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$是$\mathbf{A}$的特征值)

    • 二次型规范化问题:任何二次型都可以规范化

    • 二次型(对应矩阵)正定问题

核心概念

• 基本概念:

  • 行列式
  • 矩阵
  • 线性方程组

• 抽象概念

  • 矩阵的秩
  • 向量组的秩

核心定理

1. 线性方程组有解判定定理及其推广

   • $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$
   • $\mathbf{AX}=\mathbf{B}$
   • 判定条件:$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$

2. 向量组线性相关性判定定理

   • 本质上是线性方程组的应用,将向量组线性相关性问题通过建立对应的线性方程组,转化为分析方程组解的情况问题
   • 向量组线性相关有许多结论,这些结论很多都可以用本定理推导证明

3. 秩的相关定理

   • 由于线性方程组判定定理涉及到秩,因此关于秩相关定理和常用
   • 例如
     • 矩阵作初等行变换不改变秩
     • $R(\mathbf{A})⩽R(\mathbf{A},\mathbf{B})$(或部分组的秩不超过整体组的秩)

核心操作和运算

基础

• 转置运算
• 内积运算
• 矩阵乘法运算
• 初等变换运算
• 向量单位化运算

高级

• 方阵行列式运算
• 矩阵(向量组)秩
• 求逆运算
• 对角化

小结

• 矩阵乘法和初等变换是最核心的矩阵操作

性质和推导方法

问题转换为线性方程组求解问题

• 大多数问题都可以和线性方程组的求解问题挂钩,通过构造线性方程组来研究线性代数的大多数问题
  • 而线性方程组的解由依赖矩阵乘法和矩阵的秩
    • 矩阵乘法负责问题表达和转换
    • 而系数矩阵和增广矩阵的秩的判定直接决定了线性方程组解的情况
  • 而矩阵的秩又依赖于初等变换
  • 可见初等变换和矩阵乘法的重要性

验证和推导性质定理

• 线性代数中有很多利用运用构造法,化归法,反证法的例子

  • 例如证明$R(A+B)⩽R(A)+R(B)$的过程中,我们可以构造$\left(\begin{array}{c}A+B\\ B\end{array}\right)$,再利用更加基础的结论证明它:

    • $\left(\begin{array}{c}A+B\\ B\end{array}\right)$,$\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$有相同的秩
    • $R(A),R(B)$ $⩽$ $R\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$ $⩽$ $R(A)+R(B)$
    • 换元代入完成证明

  • 构造齐次线性方程组$\mathbf{Ax}=0$,通过研究其解的情况来研究向量组$A$的线性相关性

  • 反证法:许多关于存在性的命题和结论可以用反证法证明,例如线性相关性命题