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Flow Matching是通过匹配目标向量场来训练CNF，比如通过最小化目标向量场和模型预测之间的差异。
Rectified Flow的核心思想是学习一个确定性轨迹，将数据分布转换为噪声分布，比如通过线性插值或者更复杂的路径。

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Rectified Flow和Flow Matching的区别

Rectified Flow和Flow Matching是生成模型中基于连续归一化流（CNF）的两种方法，它们既有联系又有区别。以下从原理、公式和代码实现三个方面进行解释。

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原理对比

Flow Matching

• 核心思想：通过直接匹配目标向量场（Target Vector Field）来训练CNF模型，最小化目标向量场和模型预测之间的差异，绕过了传统基于最大似然估计的复杂优化问题。
• 关键点：
  • 定义条件概率路径 $p_t(x)$（如将数据点 $x_0$ 和噪声 $x_1$ 插值），并推导对应的目标向量场 $u_t(x)$。
  • 训练模型 $v_{\theta }(x,t)$ 直接拟合 $u_t(x)$，无需显式计算概率密度。

Rectified Flow

• 核心思想：通过构造直线路径（如 $x_t=x_0+t(x_1-x_0)$）将数据分布转换为噪声分布，强调轨迹的“直线性”以简化采样。
• 关键点：
  • 强制轨迹为直线，减少曲率，从而允许更少的时间步采样。
  • 通过迭代优化（如Reflow技术）进一步拉直轨迹，提升生成质量。

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公式对比

Flow Matching

• 目标向量场：
  假设条件路径 $p_t(x|x_1)$ 由插值定义（如 $x_t=(1-t)x_0+t{x}_1$），目标向量场为：
  $$u_t(x)={\mathbb{E}}_{x_0,x_1\sim p(x_0,x_1)}\left[\frac{d{x}_t}{dt}\mid x_t=x\right]$$
• 损失函数：
  最小化模型预测 $v_{\theta }(x,t)$ 与目标场的差异：
  $${\mathcal{L}}_{\text{FM}}={\mathbb{E}}_{t,x_t}\left[\Vert v_{\theta }(x_t,t)-u_t(x_t){\Vert }^2\right]$$

Rectified Flow

• 目标向量场：
  直接定义直线路径 $x_t=x_0+t(x_1-x_0)$，目标速度为常数：
  $$u_t(x)=x_1-x_0$$
• 损失函数：
  强制模型预测的速度与目标速度一致：
  $${\mathcal{L}}_{\text{RF}}={\mathbb{E}}_{t,x_0,x_1}\left[\Vert v_{\theta }(x_t,t)-(x_1-x_0){\Vert }^2\right]$$
• Reflow技术：
  迭代训练多个Rectified Flow模型，逐步拉直轨迹。

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代码实现对比

Flow Matching示例（简化版）

def flow_matching_loss(model, x0, x1, t):# 线性插值生成样本xt = (1 - t) * x0 + t * x1# 目标向量场为 x1 - x0ut = x1 - x0# 模型预测当前速度vt = model(xt, t)# 计算均方误差loss = torch.mean((vt - ut) ** 2)return loss

Rectified Flow示例（简化版）

def rectified_flow_loss(model, x0, x1, t):# 直线路径生成样本xt = x0 + t * (x1 - x0)# 目标速度恒为 x1 - x0target_velocity = x1 - x0# 模型预测速度pred_velocity = model(xt, t)# 计算均方误差loss = torch.mean((pred_velocity - target_velocity) ** 2)return loss

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关键区别

路径生成：
Flow Matching允许自由选择概率路径（如最优传输路径），而Rectified Flow强调直线路径和迭代优化（Reflow），牺牲部分灵活性以换取高效采样。
损失计算：
Rectified Flow的目标速度直接为 $x_1-x_0$，而Flow Matching可能根据不同的插值方式调整目标向量场。