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一、647. 回文子串
题目链接/文章讲解：代码随想录
思考：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
如果本题定义dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话：
会发现很难找到递归关系，dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系，因此本题要从回文字符串的性质着手。
可以找到一种递归关系：
也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文，为了明确这种递归关系，dp数组要定义成一位二维dp数组
bool dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
2.确定递推公式
整体上是两种情况，就是s[i]与s[j]相等、不相等：
当s[i] = s[j]，dp[i][j] = false。
当s[i] != s[j]，有如下三种情况
- 情况一：下标i 与 j相同，是同一个字符例如a，是回文子串
- 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
- 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，要看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
if (s[i] == s[j]) {if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二result++;dp[i][j] = true;} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三result++;dp[i][j] = true;} }3.dp数组的初始化
dp[i][j]初始化为false
4.确定遍历顺序
从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：
从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { for (int j = i; j < s.size(); j++) {5.举例推导dp数组
代码实现：
class Solution {
public:int countSubstrings(string s) {vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));int result = 0;for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序for (int j = i; j < s.size(); j++) {if (s[i] == s[j]) {if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二result++;dp[i][j] = true;} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三result++;dp[i][j] = true;}}}}return result;}
};- 时间复杂度：O(n^2)
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二、516.最长回文子序列
题目链接/文章讲解：代码随想录
思考：本题和回文子串思路其实差不多，但比求回文子串简单一点，因为情况少了一点
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
2.确定递推公式
如果s[i]与s[j]相同，dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
如果s[i]与s[j]不相同，dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])
不相同说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
if (s[i] == s[j]) {dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; } else {dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); }3.dp数组的初始化
从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况，所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]等于1，其他情况dp[i][j]初始为0
vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0)); for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;4.确定遍历顺序
dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]
所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，j可以正常从左向右遍历。
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {if (s[i] == s[j]) {dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;} else {dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);}} }5.举例推导dp数组
代码实现：
class Solution {
public:int longestPalindromeSubseq(string s) {vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {if (s[i] == s[j]) {dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;} else {dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[0][s.size() - 1];}
};- 时间复杂度: O(n^2)
- 空间复杂度: O(n^2)
三、动态规划总结篇
题目链接/文章讲解：代码随想录