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Notation

神经网络求解最优化Loss function时参数非常多，反向传播使用链式求导的方式提升计算梯度向量时的效率，链式法则如下：

Backpropagation

损失函数计算为所有样本的损失之和，即样本预测值与实际值之间的差距（通常是交叉熵），函数表示如下：

考虑第一个neural：

由链式法则有：
$$\frac{\partial l}{\partial w}=\frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial l}{\partial z}$$
其中$\frac{\partial z}{\partial w}$被称为forward pass, $\frac{\partial l}{\partial z}$被称为backward pass

Forward pass

这一部分计算相当容易，显然等于input的值。即使在中间的neural也是如此，直观图如下：

Backward pass

继续链式法则展开：
$$\frac{\partial l}{\partial z}=\frac{\partial a}{\partial z}\frac{\partial l}{\partial a}$$
直观图表示如下：

继续展开第二项：

直观图如下：

此时结果表示为：

其中$\sigma {}^{\prime }(z)$在Forward 的过程过程中已经计算出来了，即：$\sigma (z)(1-\sigma (z))$两个未知项分类讨论有：

Case 1. Output Layer

Case 2. Not Output Layer

实际上进行backward pass是反向的计算，即从output layer算

Summary