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分支限界笔记
整体架构流程
基本概念
分支限界法的定义
分支限界法是一种广度优先搜索问题解空间树的方法它结合了限界函数以提高搜索效率。
核心思想
分支基于广度优先策略逐步生成所有子结点。限界函数 为每个子结点计算一个值用来衡量其可行性或优越性。将符合限界条件的结点加入“活结点表”中。 选择最优的扩展结点 从活结点表中选取“最有利”的一个子结点作为扩展的结点。引导搜索向解空间树的最优解方向推进以尽快找到问题的解。 简单问题介绍
问题简单背包问题
你有一个容量为 10kg 的背包想从以下物品中挑选一些装进去使背包中的总价值最大。
物品重量 (kg)价值 (元)A26B510C312
规则
每个物品最多选一次。背包的总重量不能超过 10kg。 思考暴力解法
如果我们不聪明地去解决问题可以用“穷举法”
列出所有可能的组合包括不装任何物品、装一个物品、装两个物品等。对每个组合检查是否符合背包容量限制。如果符合就计算总价值记录最大的一个。
举个例子
不装任何物品总重量为 0总价值为 0。装物品 A总重量为 2总价值为 6。装物品 A 和 C总重量为 5总价值为 18。
这种方法对小规模问题还行但物品数量一多组合会成倍增加效率太低。 聪明的解法分支限界法
分支限界法可以帮助我们有选择地搜索组合而不需要列举所有可能性。我们分步骤来看 分支生成子问题 从装还是不装某个物品的选择开始。例如 不装 A背包里还有 10kg 容量。装 A背包里剩下 8kg 容量。 限界筛选有希望的分支 如果某个选择显然不可能比当前最优解更好就放弃。比如如果当前背包已经装满了但价值远低于已知最优解就不再考虑这条路径。 活结点保存还没探索的分支 我们用一个“活结点表”来存储每一步生成的子问题。按照某种优先级比如潜在价值的大小选择下一个要扩展的结点。 剪枝放弃无意义的计算 当某个分支已经超过背包容量限制就直接丢弃。 直观理解分支限界法的步骤
假设我们开始解上面的问题 初始状态背包空着容量为 10kg当前总价值为 0。 第一分支 不装 A剩余容量 10kg总价值 0。装 A剩余容量 8kg总价值 6。 第二分支 从“装 A”继续分支 不装 B剩余容量 8kg总价值 6。装 B剩余容量 3kg总价值 16。 从“不装 A”继续分支 不装 B剩余容量 10kg总价值 0。装 B剩余容量 5kg总价值 10。 每次分支后检查是否超过容量。如果超过就剪枝。例如 假设某分支剩余容量为负值这条路径就无效。 继续分支直到所有路径探索完毕记录下最大价值。
0-1背包问题
问题描述
给定n种物品和一个背包。物品的重量是w,其价值为p背包的容量为C。 问:应如何选择装入背包的物品使得装入背包的物品总重量不超过C,并且总价值最大?
问题建模
输入物品数量n各物品价值pi背包容量C 输出最优价值bestp最佳选择方案s[1…n] 目标函数 约束条件
问题分析 1. 定义问题的解空间确定易于搜索的解空间结构
在 0/1 背包问题中解空间可以描述为一个多维向量 (x1, x2, …, xn)其中
每个变量 xi 属于 {0, 1}表示第 i 个物品是否被选中。解空间的结构是一个 解向量的集合例如对于 4 个物品解空间可以表示为 (x1, x2, x3, x4) 的所有组合。
这种解空间结构的确定使得搜索可以基于向量的组合逐步进行清晰地定义了解的每一步推进方式。 2. 设计限界函数确定目标函数值的估算方法
目标是求解 0/1 背包问题的最大价值属于一个 目标函数最大值问题。
限界函数定义在计算解向量中目标函数值的上界时设计一个 限界函数 ( ub )用于估算子问题的最大潜在解。目的通过目标函数上界的限制加速剪枝避免遍历不可能获得更优解的分支。
限界函数的引入使得对每个子问题的解搜索能够快速判断是否值得继续深入计算。 3. 基于限界函数的广度优先搜索
广度优先搜索是解决 0/1 背包问题的一种有效方法结合限界函数能够显著提高搜索效率。 限界函数估算上界 在搜索树的每一个结点限界函数为其所有可能的解计算一个最大价值的上界用于筛选有潜力的分支。 剪枝规则 规则 1若结点的限界函数值小于当前已知的最大价值maxvalue则直接剪枝避免不必要的搜索。规则 2若结点的当前重量 cw 超过背包容量 C则剪枝该分支避免产生无效解。
通过这些规则可以减少大量不必要的搜索显著提高算法效率。
实例 以下是基于 优先队列分支限界法求解 0/1 背包问题 的伪代码以及一个简单的例子帮助你理解算法的核心逻辑。 伪代码
INPUT: w[1..n] - 物品重量数组p[1..n] - 物品价值数组C - 背包容量
OUTPUT:bestp - 最大价值x[1..n] - 最优解向量1. 按照单位重量价值 p[i]/w[i] 的非递增次序对物品排序
2. 初始化bestp 0 # 当前最大价值x[1..n] [0, ..., 0] # 最优解向量将根结点加入优先队列 PT初始 ub 为全体物品能装下的最大可能值
3. while PT 非空:3.1 从 PT 中取出优先级最高的结点 node3.2 if node.ub bestp:剪枝跳过该结点else:if node 是叶子结点:if node.value bestp:更新 bestp 和 x[1..n]通过回溯路径else:左儿子装入当前物品if 剩余重量 0:计算左儿子的 ub 和 value将左儿子加入 PT右儿子不装当前物品计算右儿子的 ub 和 value将右儿子加入 PT
4. 输出 bestp 和 x[1..n]简单例子
输入数据
物品重量 ( w [2, 3, 4] )物品价值 ( p [4, 5, 6] )背包容量 ( C 5 )
按单位重量价值排序 计算单位重量价值 ( p[i]/w[i] )
( p[1]/w[1] 4/2 2 )( p[2]/w[2] 5/3 \approx 1.67 )( p[3]/w[3] 6/4 1.5 )
排序后单位价值降序
重量 ( w [2, 3, 4] )价值 ( p [4, 5, 6] ) 执行过程
初始化 将根结点加入优先队列 ( PT ) 当前价值 ( value 0 )剩余容量 ( C 5 )初始 ub 9 尝试装入前两个物品的最大价值 第一层根结点展开 左儿子装入第一个物品 当前价值 ( value 4 )剩余容量 ( C 5 - 2 3 )ub 9加入队列。 右儿子不装入第一个物品 当前价值 ( value 0 )剩余容量 ( C 5 )ub 7加入队列。 第二层左儿子展开 左儿子的左儿子装入第二个物品 当前价值 ( value 4 5 9 )剩余容量 ( C 3 - 3 0 )ub 9是叶子结点更新 bestp 9解向量 ( x [1, 1, 0] )。 左儿子的右儿子不装入第二个物品 当前价值 ( value 4 )剩余容量 ( C 3 )ub 7加入队列。 第三层右儿子展开 右儿子的左儿子装入第二个物品 当前价值 ( value 0 5 5 )剩余容量 ( C 5 - 3 2 )ub 7加入队列。 右儿子的右儿子不装入第二个物品 当前价值 ( value 0 )剩余容量 ( C 5 )ub 6加入队列。 剪枝与结束 队列中的所有结点 ub bestp 9剪枝完成算法结束。 最终结果
最大价值( bestp 9 )最优解( x [1, 1, 0] )选择物品 1 和物品 2 总结
本算法通过 限界函数ub 估算子树的最大可能值从而剪枝减少不必要的计算。优先队列 优先处理潜在最优解的分支结合剪枝极大提高效率。例子中展示了完整过程最终输出了最优价值和解向量。
旅行商问题
问题描述 问题建模 分支界限法解决问题 小结
简单例子开始理解
