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前言

在这个问题中，我们需要找到可以形成的最长数对链。数对 (a, b) 的链要求 a < b，并且数对链的连接需要满足 b1 < a2。这类似于寻找最长递增子序列的问题，可以通过动态规划或者贪心算法来解决。

贪心算法通过将数对按右端排序，并逐步选择满足条件的数对，能够在更短的时间内解决问题。本文将详细介绍动态规划和贪心策略，并提供 Python 和 C++ 代码示例，帮助你理解并掌握这一问题的解法。

题目描述

基本思路

1. 问题定义

给定一组数对 pairs，其中每个数对由两个整数组成 (a, b)，并且 a < b。一条 数对链 是指可以将数对 (a1, b1) 和 (a2, b2) 连接起来，满足 b1 < a2。你需要找到最长的数对链。

2. 理解问题和递推关系

这个问题类似于 最长递增子序列 的问题。我们需要选择数对，并构建满足条件的数对链，使得链的长度最大化。两种解法是常见的：

动态规划：对于每一个数对，检查它之前的所有数对是否满足 b1 < a2，如果满足，则更新当前数对能构成的最长链。
贪心策略：通过对数对的右端 b 进行排序，贪心地选择每一个数对，确保尽可能形成最长的数对链。

• 动态规划方法
  1. 首先，将数对按照左端 a 进行升序排序，或者按照右端 b 进行升序排序。
  2. 定义 dp[i] 为以第 i 个数对为结尾的最长数对链的长度。
  3. 对于每一个数对 pairs[i]，遍历之前的所有数对 pairs[j]，检查 pairs[j][1] < pairs[i][0]，即数对是否可以连接。如果可以，则更新 $dp[i]=mx(dp[i],dp[j]+1)$。
  4. 最终，答案为 max(dp)，即最长数对链的长度。
• 贪心方法
  1. 首先，将数对按照右端 b 进行升序排序。
  2. 贪心地选择每个数对，在选择时保证其左端 a 大于上一个数对的右端 b，以确保形成最长链。
  3. 最终计数即为链的长度。

3. 解决方法

3.1 动态规划方法

• 排序后，使用动态规划求解最优解。遍历每个数对，更新每个数对能够形成的最长链。

3.2 贪心方法

• 排序后，通过贪心策略选择尽可能多的数对来构成最长链。

4. 进一步优化

• 贪心方法 的时间复杂度是 $O(nlogn)$，因为排序需要 $O(nlogn)$ 的时间，而遍历一遍数对仅需要 $O(n)$ 的时间。相比之下，动态规划的时间复杂度为 $O(n^2)$，适合小规模数据。贪心方法在时间效率上更优。

5. 小总结

• 动态规划方法可以通过递推公式解决，但时间复杂度较高，适合较小规模的输入。
• 贪心方法是更优的选择，能够在 $O(nlogn)$ 的时间复杂度内解决问题，适用于大规模输入。

以上就是最长数对链问题的基本思路。

代码实现

Python

Python3代码实现

class Solution:def findLongestChain(self, pairs: list[list[int]]) -> int:# 按照数对的第二个元素（右端点）进行升序排序pairs.sort(key=lambda x: x[1])# 初始化计数器和当前数对的结束位置cur_end = float('-inf')count = 0# 遍历每个数对for pair in pairs:# 如果当前数对可以与上一个数对连接if pair[0] > cur_end:cur_end = pair[1]  # 更新结束位置count += 1  # 更新数对链长度return count

Python 代码解释

• 排序：首先按照数对的右端 b 进行升序排序，以便我们可以贪心地选择更多的数对。
• 贪心选择：遍历每个数对，检查其左端 a 是否大于当前链的结束位置 cur_end，如果满足条件，则更新链的结束位置，并增加链的长度。
• 返回结果：最终返回最长数对链的长度。

C++

C++代码实现

class Solution {
public:int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs) {// 按照数对的第二个元素（右端点）进行升序排序sort(pairs.begin(), pairs.end(), [](vector<int>& a, vector<int>& b) {return a[1] < b[1];});int cur_end = INT_MIN;  // 当前数对链的结束位置int count = 0;  // 初始化数对链的长度// 遍历每个数对for (const auto& pair : pairs) {if (pair[0] > cur_end) {  // 如果当前数对可以连接cur_end = pair[1];  // 更新链的结束位置count++;  // 增加链的长度}}return count;  // 返回最长数对链的长度}
};

C++ 代码解释

• 排序：对数对的右端进行升序排序，方便后续的贪心选择。
• 贪心选择：通过遍历数对，判断是否可以将当前数对加入链中。如果当前数对的左端大于前一个数对的右端，就可以将其加入，并更新链的长度。
• 返回结果：最终返回最长数对链的长度。

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总结

• 动态规划方法能够通过递推计算每个数对的最长链，但时间复杂度较高，为 $O(n^2)$。
• 贪心算法通过排序和逐步选择，能够在 $O(nlogn)$ 的时间内解决问题，是更高效的解法。
• 本文提供的 Python 和 C++ 实现展示了贪心算法的高效性，希望能够帮助你解决类似的数对链问题。