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0 前言

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• 难度系数：3分
• 工作量：3分
• 创新点：3分

餐厅销量预测

模型简介

2.ARIMA模型介绍

2.1自回归模型AR

自回归模型描述当前值与历史值之间的关系，用变量自身的历史时间数据对自身进行预测。自回归模型必须满足平稳性的要求。

自回归模型首先需要确定一个阶数p，表示用几期的历史值来预测当前值。p阶自回归模型的公式定义为：

上式中yt是当前值,u是常数项,p是阶数
ri是自相关系数,et是误差。

自回归模型有很多的限制：
1、自回归模型是用自身的数据进行预测
2、时间序列数据必须具有平稳性
3、自回归只适用于预测与自身前期相关的现象

2.2移动平均模型MA

移动平均模型关注的是自回归模型中的误差项的累加 ，移动平均法能有效地消除预测中的随机波动，q阶自回归过程的公式定义如下：

2.3自回归移动平均模型ARMA

自回归模型AR和移动平均模型MA模型相结合，我们就得到了自回归移动平均模型ARMA(p,q)，计算公式如下：

三、模型识别

自相关函数ACF：时间序列观测值与其过去的观测值之间的线性相关性。

偏自相关函数PACF：在给定中间观测值的条件下，时间序列观测值预期过去的观测值之间的线性相关性

拖尾和截尾
拖尾指序列以指数率单调递减或震荡衰减，而截尾指序列从某个时点变得非常小：

四、模型检验

4.1半稳性检验

(1)用途

建模之前，检验时间序列数据是否满足平稳性，才能进-步建模

(1)什么是平稳序列?

如果时间序列在某-常数附件波动且波 动范围有限，数学表达即常数均值和常数方差，并且延迟k期的序列变量的自协方差和自相关系数是相等的，则称该序列为平稳序列。

(2)检验平稳性

方法一:图检验(偏主观)
时序图检验:在某-常数附近波动且波动范围有限。
自相关图检验:平稳序列具有短期相关性,但随着延迟期数k的增加，自相关系数会快速衰减趋向于零。
方法二:单位根检验
不存在单位根即是平稳序列。

◆白噪声检验(纯随机性检验)

(1)用途

建模之前，检验数据是否满足白噪声检验，非白噪声才能进一步建模。
建模后，检验残差是否满足白噪声检验，通过检验,建模才成立。

(1)什么是纯随机序列?

如果-个序例是纯随机序列，那么序列值之间没有任何关系，则自相关系数为零(理论)或接近于零(实际) .

(2)检验纯随机性

方法- -:图检验
自相关图检验:自相关系数为零或接近于零
QQ图检验:大部分点在直线上,则数据符合正态分布
方法二: D-W检验或L .B统计量检验

五、Python实战

（一）导入工具及数据

​
​ #导入数据
​ sale=pd.read_excel(“C://Python//分享资料2//arima_data.xls”)
​ print(sale.head())
​ print(sale.info())

​

查看数据

共有37个整数型样本数据

（二）原始序列的检验

​
​ #时序图观看是否平稳序列
​ plt.figure(figsize=(10,5))
​ sale[‘销量’].plot()
​ plt.legend([‘销量’])
​ plt.show()

上图为一个单调递增的序列，说明数据是不平稳的。

自相关图

​
​ # 查看自相关图
​ sale[‘销量’]=sale[‘销量’].astype(‘float’)
​ plot_acf(sale[‘销量’],lags=35).show()
​ #解读：自相关系数长期大于零，没有趋向于零，说明序列间具有很强的长期相关性。

平稳性检验

​
​ print(‘原始序列的ADF检验结果为’,ADF(sale[‘销量’]))
​ #解读：P值（第二个）大于显著性水平α（0.05），接受原假设（非平稳序列），说明原始序列是非平稳序列。

（三）一阶差分序列的检验

​
​ #方法：单位根检验
​ # print(‘原始序列的ADF检验结果为’,ADF(sale[‘销量’]))
​

d1_sale=sale.diff(periods=1, axis=0).dropna()
d1_sale=d1_sale['销量']
#时序图
plt.figure(figsize=(10,5))
d1_sale.plot()
plt.show()
#解读：在均值附件比较平稳波动#自相关图
plot_acf(d1_sale,lags=34).show()
#解读：有短期相关性，但趋向于零。#平稳性检验
print('原始序列的ADF检验结果为：',ADF(d1_sale))#解读：P值小于显著性水平α（0.05），拒绝原假设（非平稳序列），说明一阶差分序列是平稳序列。

平稳性检验ADF小于0.05，说明一阶差分是平稳的

白噪声检验

​
​ print(‘一阶差分序列的白噪声检验结果为：’,acorr_ljungbox(d1_sale,lags=1))#返回统计量、P值
​ #解读：p值小于0.05，拒绝原假设（纯随机序列），说明一阶差分序列是非白噪声。

p值小于0.05，拒绝原假设（纯随机序列），说明一阶差分序列是非白噪声。

（四）定阶（参数调优）

确定P值和Q值

​
​ # 参数调优：BIC
​ # # 模型调优的方法：AIC和BIC
​ # # 值越小越好
​ # # 参数调优的方法非常多，用不同方法得出的结论可能不同
​ # from pandas.core.frame import DataFrame
​ # pmax=int(len(d1_sale)/10) #一般阶数不超过length/10
​ # qmax=int(len(d1_sale)/10) #一般阶数不超过length/10
​ # bic_matrix=[]
​ # for p in range(pmax+1):
​ # tmp=[]
​ # for q in range(qmax+1):
​ # try:
​ # tmp.append(ARIMA(sale,(p,1,q)).fit().bic)
​ # except:
​ # tmp.append(None)
​ # bic_matrix.append(tmp)
​ # p,q=DataFrame(bic_matrix).stack().idxmin() #最小值的索引
​ # print(‘用BIC方法得到最优的p值是%d,q值是%d’%(p,q))
​

# pmax=int(len(d1_sale)/10) #一般阶数不超过length/10
# qmax=int(len(d1_sale)/10) #一般阶数不超过length/10# aic_matrix=[]
# for p in range(pmax+1):
#     tmp=[]
#     for q in range(qmax+1):
#         try:
#             tmp.append(ARIMA(sale,(p,1,q)).fit().aic)
#         except:
#             tmp.append(None)
#     aic_matrix.append(tmp)
# aic_matrix=pd.DataFrame(aic_matrix)
# p,q=aic_matrix.stack().idxmin() #最小值的索引
# print('用AIC方法得到最优的p值是%d,q值是%d'%(p,q))

用AIC和BIC方法得到的最优的P值和Q值为0,1

（五）建模与预测

​
​ #构建模型
​ model=ARIMA(sale[‘销量’],(0,1,1)).fit()
​ #查看模型报告
​ print(model.summary2())

残差检验

​
​ #残差检验
​ #自相关图
​ resid=model.resid
​ plot_acf(resid,lags=35).show()
​

#解读：有短期相关性，但趋向于零。#偏自相关图
plot_pacf(resid,lags=20).show()#偏自相关图
plot_pacf(resid,lags=35).show()
# 

​

如图所示一阶，二阶，三阶都是非常小的数，说明它们之间的相关性比较小，可能是一个纯随机序列

​
​ #qq图：线性即正态分布
​ qqplot(resid, line=‘q’, fit=True).show()
​ #解读：残差服从正态分布，均值为零，方差为常数

上图可以看出数据均匀的落在直线的周围，说明数据服从正态分布：均值为0，方差为常数，是一个纯随机序列。

预测

​
​ print(‘未来七天的销量数据：\n’)
​ print(model.forecast(7))

​
​ #预测
​ # print(‘未来七天的销量数据：\n’)
​ # print(model.forecast(7))
​ forecast=pd.Series(model.forecast(7)[0],index=pd.date_range(‘2015-2-7’,periods=7,freq=‘D’))
​ data=pd.concat((sale,forecast),axis=0)
​ data.columns=[‘日期’,‘销量’,‘未来7天销量’]
​ plt.figure(figsize=(10,5))
​ data[[‘销量’,‘未来7天销量’]].plot()
​ plt.show()

最后