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博客长期更新，本文最新更新时间为：2025年6月14日。

一、算法原理

1. 点云投影

   设原始点云集合为：
P = { p i } i = 1 N , p i = ( x i , y i , z i ) ∈ R 3 P = \{ \mathbf{p}_i \}_{i=1}^N, \quad \mathbf{p}_i = (x_i, y_i, z_i) \in \mathbb{R}^3 P={pi​}i=1N​,pi​=(xi​,yi​,zi​)∈R3

投影到XY平面（可推广到任意平面）：
$$P_{\text{proj}}=\{(x_i,y_i){\}}_{i=1}^N$$

2. 网格划分

计算投影点集边界：
$$\{\begin{array}{l}{x}_{\min }=\underset{1\le i\le N}{\min }{x}_i\\ x_{\max }=\underset{1\le i\le N}{\max }{x}_i\\ y_{\min }=\underset{1\le i\le N}{\min }{y}_i\\ y_{\max }=\underset{1\le i\le N}{\max }{y}_i\end{array}$$

定义网格尺寸 $s$（用户参数），计算网格维度：
$$m=\lceil \frac{x_{\max }-x_{\min }}{s}\rceil ,n=\lceil \frac{y_{\max }-y_{\min }}{s}\rceil$$

3. 密度计算

对于网格单元 $(j,k)$：

• 区域范围：$R_{jk}=[x_{\min }+j\cdot s,x_{\min }+(j+1)\cdot s)\times [y_{\min }+k\cdot s,y_{\min }+(k+1)\cdot s)$
• 点数统计：
  $$C_{jk}=\sum _{i=1}^N{1}_{R_{jk}}(x_i,y_i)$$
  其中 $1$ 为指示函数：
  $$1_{R_{jk}}(x,y)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }(x,y)\in R_{jk}\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$
• 点密度：
  $$D_{jk}=\frac{C_{jk}}{A},A=s^2(\text{单位面积})$$

4. 完整流程

$$\boxed{\begin{array}{c}\text{输入：点云 }P,\text{ 网格尺寸 }s\\ \downarrow \\ \text{1. 投影：}{P}_{\text{proj}}=\{(x_i,y_i)|\forall {\mathbf{p}}_i\in P\}\\ \downarrow \\ \text{2. 边界计算：}{x}_{\min },x_{\max },y_{\min },y_{\max }\\ \downarrow \\ \text{3. 网格划分：}m\times n\text{ 网格}\\ \downarrow \\ \text{4. 密度计算：}\\ D_{jk}=\frac{1}{s^2}\sum _{i=1}^N{1}_{[x_{\min }+js,x_{\min }+(j+1)s)}(x_i)\cdot 1_{[y_{\min }+ks,y_{\min }+(k+1)s)}(y_i)\\ \text{for }j=0,\dots ,m-1;k=0,\dots ,n-1\\ \downarrow \\ \text{输出：密度矩阵 }\mathbf{D}=[D_{jk}{]}_{m\times n}\end{array}}$$

5. 关键公式说明

1. 网格索引映射：
   $$j=\lfloor \frac{x_i-x_{\min }}{s}\rfloor ,k=\lfloor \frac{y_i-y_{\min }}{s}\rfloor$$
   确保点落入正确网格单元

2. 边界处理：
   $$j\in [0,m-1],k\in [0,n-1]$$
   超出范围的索引被丢弃

3. 密度单位：
   $D_{jk}$ 单位为 $\text{点}/{\text{m}}^2$（当 $s$ 以米为单位时），用于量化局部点云密度

此方法通过降维投影和空间离散化，将三维密度计算转化为二维直方图统计，是点云分析的基础操作。

二、代码实现

#include <vector>
#include <pcl/io/pcd_io.h>
#include <pcl/point_cloud.h>
#include <pcl/point_types.h>
#include <pcl/common/common.h>// 计算投影密度
void computeProjectionDensity(pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr& cloud, float grid_size, std::vector<std::vector<float>>& density_grid)
{// 获取点云边界pcl::PointXYZ min_pt, max_pt;pcl::getMinMax3D(*cloud, min_pt, max_pt);// 计算网格维度（XY平面投影）int grid_x = ceil((max_pt.x - min_pt.x) / grid_size);int grid_y = ceil((max_pt.y - min_pt.y) / grid_size);// 初始化密度网格density_grid.resize(grid_x, std::vector<float>(grid_y, 0.0f));// 统计每个网格的点数for (const auto& point : cloud->points) {int x_idx = (point.x - min_pt.x) / grid_size;int y_idx = (point.y - min_pt.y) / grid_size;if (x_idx >= 0 && x_idx < grid_x && y_idx >= 0 && y_idx < grid_y) {density_grid[x_idx][y_idx] += 1.0f;}}// 计算密度（点数/单位面积）float cell_area = grid_size * grid_size;for (int i = 0; i < grid_x; ++i) {for (int j = 0; j < grid_y; ++j) {density_grid[i][j] /= cell_area;}}
}// 使用示例
int main() 
{pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr cloud(new pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>);if (pcl::io::loadPCDFile<pcl::PointXYZ>("E://data//道路.pcd", *cloud) == -1){PCL_ERROR("Cloudn't read file!");return -1;}std::vector<std::vector<float>> density_grid;computeProjectionDensity(cloud, 0.1f, density_grid); // 网格尺寸0.1m// 输出密度结果for (const auto& row : density_grid) {for (float density : row) {std::cout << density << " ";}std::cout << std::endl;}return 0;
}

三、结果展示