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news 2025/11/4 8:36:08

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如题，在今天学习线性代数时，觉得书上对于施密特正交化部分的解释还不够明了（作者用的是同济版的线性代数，对于农科学生来说可能不够明了），于是就想到能不能用通俗易懂的方法把这个知识呈现出来，于是就有了这篇文章，话不多说，直接进入正题

一.施密特正交化

设 $\boldsymbol{a_{1}\cdot \cdot \cdot a_{r}}$ 是向量空间 $\boldsymbol{V}$ 的一个基，要求 $\boldsymbol{V}$ 的一个标准正交基。这也就是要找一组两两正交的单位向量 $\boldsymbol{e_{1},\cdot \cdot \cdot ,e_{r}}$ 与 $\boldsymbol{a_{1}\cdot \cdot \cdot a_{r}}$ 等价。这样一个问题，称为把基 $\boldsymbol{a_{1}\cdot \cdot \cdot a_{r}}$ 标准正交化。

我们可以用以下方法把 $\boldsymbol{a_{1}\cdot \cdot \cdot a_{r}}$ 标准正交化：取

$\boldsymbol{b_{1} = a_{1}}$

$\boldsymbol{b_{2} = a_{2} - \frac{\left [ b_{1} , a_{2}\right ]}{\left [ b_{1} , b_{1}\right ]}b_{1}}$
$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$

$\boldsymbol{b_{r} = a_{r} - \frac{\left [ b_{1} , a_{r}\right ]}{\left [ b_{1} , b_{1}\right ]}b_{1} - \frac{\left [ b_{2} , a_{r}\right ]}{\left [ b_{2} , b_{2}\right ]}b_{2} - \cdot \cdot \cdot - \frac{\left [ b_{r-1} , a_{r}\right ]}{\left [ b_{r-1} , b_{r-1}\right ]}b_{r-1}}$

然后把它们单位化，即取

$\boldsymbol{e_{1}=\frac{1}{\left \| b_{1} \right \|}b_{1}},\boldsymbol{e_{2}=\frac{1}{\left \| b_{2} \right \|}b_{2}},\cdot \cdot \cdot ,\boldsymbol{e_{r}=\frac{1}{\left \| b_{r} \right \|}b_{r}}$

就是 $\boldsymbol{V}$ 的一个标准正交基。

上述从线性无关向量组 $\boldsymbol{a_{1}\cdot \cdot \cdot a_{r}}$ 导出正交向量组 $\boldsymbol{b_{1}\cdot \cdot \cdot b_{r}}$ 的过程称为施密特正交化。

二.“通俗”理解施密特正交化

在开始之前，默认你已经知道了内积等学习施密特正交化需要的一些基本知识

我知道，定义总是晦涩难懂的，想要通俗的理解就要从别的角度去思考，而对人类来说，图形恰恰是理解记忆的好方式，下面我将以数形结合的方式来带你了解这个定理。

余弦定理与向量距离

在平面直角坐标系中，假设有向量 $\boldsymbol{\vec{l},\vec{m}}$ ,如图（懒得作图了，顺便展示一下子画工）

在这三角形AOC中，对A,B距离的平方，有

余弦定理： $\boldsymbol{\left | \vec{l}-\vec{m}\right |^{2}=\left | \vec{l} \right |^{2}+\left | \vec{m} \right |^{2}-2\left | \vec{l} \right |\left | \vec{m} \right |\cos \theta }$

坐标： $\boldsymbol{\left ( x_{1}-x_{2} \right )^2+\left ( y_{1}-y_{2} \right )^2=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})}$

显然，两式中后一项相等

$\boldsymbol{}$ $\boldsymbol{-2\left | \vec{l} \right |\left | \vec{m} \right |\cos \theta=-2(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})}$

即，向量 $\boldsymbol{\vec{l},\vec{m}}$ 的内积为

$\boldsymbol{\left [ \boldsymbol{\vec{l},\vec{m}} \right ]=\left | \vec{l} \right |\left | \vec{m} \right |\cos \theta=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}$

正文

现在，回到公式中，我们不妨把问题简化一下，假设向量空间是二维空间

设在二维空间中，有正交向量 $\boldsymbol{\vec{b_{1}},\vec{b_{2}}}$ ，任意向量 $\boldsymbol{\vec{a_{1}},\vec{a_{2}}}$ ，由正交向量性质可知，一对正交向量必然共面且垂直，而平面直角坐标系的坐标轴恰恰具有这个性质，那么由 $\boldsymbol{\vec{b_{1}} = \vec{a_{1}}}$ ，不妨建在 $\boldsymbol{\vec{a_{1}},\vec{a_{2}}}$ 所在的平面建立平面直角坐标系，并设任意向量 $\boldsymbol{\vec{a_{1}}}$ 与y轴重合，如图：

回到施密特正交化的目的，其意义就是将一组任意向量通过初等变换化为正交向量，而向量的初等变换正是向量在直角坐标系中的坐标变换，

即，其目的就是（二维平面）将一对向量，使其中一个向量与x或y轴重合，另一向量通过变换使其与另一坐标轴重合，这样就达到了正交化

明白了其中的原理之后，我们再回到式子中，来看看如何理解这冗杂的东西

还是在二维平面中，有

$\boldsymbol{\vec{b_{1}} = \vec{a_{1}}}$

$\boldsymbol{\vec{b_{2}} = \vec{a_{2}} - \frac{\left [ \vec{b_{1}} , \vec{a_{2}}\right ]}{\left [ \vec{b_{1}} , \vec{b_{1}}\right ]}\vec{b_{1}}}$

第一个式子不做过多解释，正是前文所提的“设任意向量 $\boldsymbol{\vec{a_{1}}}$ 与y轴重合”的情况

我们来仔细研究第二个式子，首先将式子写为

$\boldsymbol{\vec{b_{2}} = \vec{a_{2}} - k\vec{b_{1}}}$

其中 $\boldsymbol{k=\frac{\left [ \vec{b_{1}} , \vec{a_{2}}\right ]}{\left [ \vec{b_{1}} , \vec{b_{1}}\right ]}}$ ，为常数

不难发现，式子右侧部分的几何意义如下图：

显然 $\boldsymbol{k}$ 的作用就是找到一个合适的向量 $\boldsymbol{\vec{a_{2}}-k\vec{b_{1}}}$ 使之与x轴平行

现在我们来研究系数 $\boldsymbol{k}$ 的意义

$\boldsymbol{k\vec{b_{1}}=\frac{\left [ \vec{b_{1}} , \vec{a_{2}}\right ]}{\left [ \vec{b_{1}} , \vec{b_{1}}\right ]}\vec{b_{1}}}$

由上文中通过两向量推到的公式：

$\boldsymbol{\left [ \boldsymbol{\vec{l},\vec{m}} \right ]=\left | \vec{l} \right |\left | \vec{m} \right |\cos \theta=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}$

结合一些简单的变形，不难得到

$\boldsymbol{k\vec{b_{1}}=\frac{\left | \vec{a_{2}} \right |\left | \vec{b_{1}} \right |\cos \theta}{(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})}=\frac{\left | \vec{a_{2}} \right |\cos \theta }{\left | \vec{b_{1}} \right |}\vec{b_{1}}=\left | \vec{a_{2}} \right |\cos \theta \vec{e_{1}}}$

其中 $\boldsymbol{\vec{e_{1}}}$ 则为单位化后的 $\boldsymbol{\vec{b_{1}}}$ ，即与 $\boldsymbol{\vec{b_{1}}}$ 共线的单位向量

则 $\boldsymbol{b_{2}}$ 的表达式为

$\boldsymbol{\vec{b_{2}} = \vec{a_{2}} -\left | \vec{a_{2}} \right |\cos \theta\vec{e_{1}}}$

其实到这里就已经很明显了， $\boldsymbol{k}$ 的意义就是先将 $\boldsymbol{\vec{b_{1}}}$ 单位化，再将其长度化为与向量 $\boldsymbol{\vec{a_{2}} }$ 在y轴上的投影等长，这样就解释了为什么 $\boldsymbol{k}$ 可以将 $\boldsymbol{\vec{b_{1}}}$ 放缩到合适的长度，使得 $\boldsymbol{\vec{a_{2}}-k\vec{b_{1}}}$ 使之与x轴平行。