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核和值域的关系：什么是矩阵的秩？

这篇博客将介绍一个任意矩阵的核和值域的关系，并由此说明矩阵秩的意义、子空间维数、子空间正交。

1、矩阵的核：N(A)

$A\in C^{m\times n}$，矩阵的核，记作N(A)，N是nullity的首字母。
N ( A ) = { x ∣ A x = 0 , x ∈ C n } N(A)=\{x|Ax=0,x\in C^n \} N(A)={x∣Ax=0,x∈Cn}
A的核，其实就是齐次方程组Ax=0的所有解（解空间）。下面介绍解的情况。

1. rank(A)=n，则有唯一解，且唯一解为0，N(A)={0}。
2. rank(A)=r<n，则有无穷多解，且基本未知数个数为r，自由未知数个数为n-r，dim(N(A))=n-r。

可用行阶梯形来理解上述定理。注意，行初等变换不改变矩阵的解空间。
$$\begin{gathered} Ax=0\Rightarrow \tilde{A}x=0 \\ \tilde{\mathbf{A}}=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& \dots & a_{1,n}\\ & a_{2,2}& a_{2,3}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& & \ddots & \ddots & ⋮\\ & (0)& & \ddots & a_{n-1,n}\\ 0& & \cdots & & a_{n,n}\end{array}\right] \end{gathered}$$
当rank(A)=n时，a_nn ≠ 0，因此x_n=0；关注第n-1行：$a_{n-1,n-1}{x}_{n-1}+a_{n-1,n}{x}_n=0$，连锁反应将使得x_i=0， i=1～n；

当rank(A)=r是，a_rr ≠ 0，因此x_r=0，所以x=[0,0,0,*,*,*]，r个0，n-r个任意值。

2、矩阵的值域：R(A)

$A\in C^{m\times n}$，矩阵的值域，记作R(A)，R是range的首字母。
R ( A ) = { y ∈ C m ∣ y = A x , x ∈ C n } R(A)=\{y\in C^m|y=Ax,x\in C^n \} R(A)={y∈Cm∣y=Ax,x∈Cn}
值域就是A的列向量组所能张成的最大空间。

1. dim(R(A)) = rank(A) = rank(A^H) = dim(R(A^H))
2. 秩-零化度定理：rank(A)+nullity(A)=n，nullity(A)=dim(N(A))

可以从线性表出的角度去理解。注意，矩阵的分块乘法。
$$\begin{array}{rl}y& =Ax\\ & =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T\\ & =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n\end{array}$$

3、子空间正交

所谓子空间正交，就是子空间W1的所有向量和W2所有向量正交。
$$<y,x>=<Ax,x>=(Ax{)}^{H}x=x^H{A}^{H}x$$
因此R(A)和N(A^H)正交。

1. $R(A) \cap N(A^H)={0} $
2. $R(A)\oplus N(A^H)=C^m$

$\oplus$是直和，只有两个正交的空间才能进行直和运算。

直和：对于V1+V2中任何一个向量a=a1+a2，其中a1属于V1，a2属于V2，这种表示是唯一的，则称V1+V2为直和。

4、子空间维数定理

V 1 + V 2 = { x 1 + x 2 ∣ x 1 ∈ V 1 , x 2 ∈ V 2 } V 1 ∩ V 2 = { x ∣ x ∈ V 1 , x ∈ V 2 } V_1+V_2=\{x_1+x_2|x_1\in V_1,x_2\in V_2 \}\\ V_1\cap V_2=\{x|x\in V_1,x\in V_2 \} V1​+V2​={x1​+x2​∣x1​∈V1​,x2​∈V2​}V1​∩V2​={x∣x∈V1​,x∈V2​}

子空间维数定理：
$$dim(V_1)+dim(V_2)=dim(V_1+V_2)+dim(V1\cap V_2)$$
可从三维空间理解。V1和V2是两个不相同的平面，各自维数为2，相加为4。和空间为整个三维空间，交空间为一条直线，即一维空间。

5、非齐次线性方程组的解

在第一节介绍了其次线性方程组Ax=0的解，下面介绍非齐次线性方程组Ax=b的解，其中$A\in C^{m\times n}$，$\bar{A}=[A,b]$是增广矩阵。

1. 如果rank(A)=rank($\bar{A}$)=n，则方程组有唯一解。
2. 如果rank(A)=rank($\bar{A}$)=r<n，则方程组有无穷多解。解空间维数为r，即基本未知数有r个，自由未知数有n-r个。
3. 如果rank(A)<rank($\bar{A}$)，则方程组无解，解空间为空。
4. 不存在rank(A)>rank($\bar{A}$)

注意，齐次方程组必定有解，而非齐次方程组可能无解。