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news 2025/9/17 17:01:38

青岛大型网站建设,摩托车建设网站,大图网网站,这个网站做海外推广德鲁特模型的重要等式首先我们建立德鲁特模型的重要等式我们把原子对于电子的阻碍作用，用一个冲量近似表示出来在式子首先定义一个等效加速度由于我们可以得到电导率的微观表达式在交流电环境中电场的表达式借鉴上一问的公式我们可以列出这样的表达式…

德鲁特模型的重要等式

首先我们建立德鲁特模型的重要等式

$\vec F_e =m_e \frac{d\vec v}{dt}=-e\vec E-m_e\frac{\vec v}{\tau}$

我们把原子对于电子的阻碍作用，用一个冲量近似表示出来

在式子 $\frac{d\vec v}{dt}=-\frac{e \vec E}{m_e}-\frac{\vec v}{ \tau}$

首先定义一个等效加速度

$\frac{e\vec E}{m_e}=\frac{\vec v_d}{\tau}$

由于

$\vec j=-ne\vec v=-ne\vec v_d=ne(\frac{e\vec E \tau}{m_e})=\sigma_0 \vec E$

我们可以得到电导率的微观表达式 $\sigma_0 =\frac{ne^2 \tau } { m_e }$

在交流电环境中

电场的表达式 $E(t)=E(\omega)e^{i\omega t}$

借鉴上一问的公式

我们可以列出这样的表达式

$m\frac{d\vec v(t)}{dt}=-eE(t)-m_e \frac{\vec v(t)}{\tau}$ ，代入电场的表达式，我们可以得到

$m\frac{E(\omega) de^{-i\omega t}}{dt}=-eE(\omega) de^{-i\omega t}-m_e \frac{\vec v(\omega)e^{-i\omega t}}{\tau}$

左边求导数，我们可以得到

$-i\omega m_e E(\omega) e^{-i\omega t}=-eE(\omega) de^{-i\omega t}-m_e \frac{\vec v(\omega)e^{-i\omega t}}{\tau}$

化简可以得到

$m_e \vec v(\omega)e^{-i\omega t}(-i\omega +\frac{1}{\tau})=-e\vec E e^{-i\omega t}$

我们解得

$m_e \vec v(\omega)=-\frac{e\vec E(\omega)}{(\frac{1}{\tau}-i\omega)}$

$\vec v(\omega)=-\frac{e\vec E(\omega)}{m_e (\frac{1}{\tau}-i\omega)}$

解得

$\vec j=-ne\vec v= \frac{ne^{2} }{m_e (\frac{1}{\tau}-i\omega)}\vec E(\omega)$

我们可以得到

$\sigma(\omega)=\frac{ne^{2} }{m_e (\frac{1}{\tau}-i\omega)}$

这个式子的重要应用就是EM波，电磁波在金属中的传播

$\sigma(\omega)=\frac{ne^{2} }{m_e (\frac{1}{\tau}-i\omega)}=\frac{\sigma_0}{(1-i\omega \tau)}$

在电磁波的传播中要记住这么几个等式

首先是色散关系表达式

$k^2=\frac{\omega^2}{c^2}\varepsilon(\omega),\varepsilon(\omega)=1+\frac{i\sigma_0}{\varepsilon_0 \omega(1-i\omega \tau)}$

我们定义plasma frequency

$\omega_p=\sqrt{\frac{n e^2}{ m_e \varepsilon_0}}$

我们可以得到

$\varepsilon(\omega)=1+\frac{\omega_p^{2}}{\omega(\frac{1}{i\tau}-\omega)}$

$\varepsilon(\omega)=1-\frac{\omega_p^{2}}{i\frac{\omega}{\tau}+\omega^2}$

$if \ \ \ \omega \tau>>1,\omega^2>>\frac{\omega}{\tau}$

$\varepsilon(\omega)=1-\frac{\omega_p^{2}}{i\frac{\omega}{\tau}+\omega^2}=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}$

$if \ \ \ \omega =\omega_p,\varepsilon(\omega)=0,k=0,\lambda =\frac{2 \pi}{k}=\infty$

the propagation mode with $\omega_p$ 对应于均匀震荡电子气在金属中，这个模式称为等离子震荡模式

给出了电磁波的金属中的传播条件

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