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描述性统计就是搜集、整理、加工和分析统计数据， 使之系统化、条理化，以显示出数据资料的趋势、特征和数量关系。它是统计推断的基础，实用性较强，在数学建模的数据描述部分经常使用。

目录

1.频数表和直方图

2 .统计量 

3.统计中几个重要的概率分布 

3.1正态分布 

3.2卡方分布 

3.3 t分布 

3.4 F分布 

3.5MATALB中的命令

4.正态总体统计量的分布 

5.参数估计 

5.1 点估计 

5.2 区间估计 

5.3 参数估计的 Matlab 实现

 6.假设检验

6.1 单个正态总体均值 μ 的检验

 6.2 方差已知，关于 μ 的检验（ Z 检验）

6.3 方差未知，关于 μ 的检验（t 检验） 

6.4两个正态总体均值差的检验（t 检验）

 7.分布拟合检验

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1.频数表和直方图

一组数据（样本）往往是杂乱无章的，做出它的频数表和直方图，可以看作是对这 组数据的一个初步整理和直观描述。 将数据的取值范围划分为若干个区间，然后统计这组数据在每个区间中出现的次 数，称为频数，由此得到一个频数表。以数据的取值为横坐标，频数为纵坐标，画出一 个阶梯形的图，称为直方图，或频数分布图。

作频数表及直方图 求频数用 hist 命令实现，其用法是：

[N,X] = hist(Y,M)

得到数组（行、列均可）Y 的频数表。它将区间[min(Y),max(Y)]等分为 M 份（缺省时 M 设定为 10），N 返回 M 个小区间的频数，X 返回 M 个小区间的中点。

示例：下图为身高和体重数据：

程序：

clc,clear;
load data.txt; 
high=data(:,1:2:9);
high=high(:); 
weight=data(:,2:2:10);
weight=weight(:); 
[n1,x1]=hist(high);
[n2,x2]=hist(weight);
subplot(1,2,1), hist(high); 
title('身高直方图')
subplot(1,2,2), hist(weight); 
title('体重直方图')

运行结果如下： 

clc,clear;
fid1 = ['aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggagg' ...  'cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcgggga' ...  'gggacggatacggattctggccacggacggaaaggaggacacggcggacataca' ...  'atggataacggaaacaaaccagacaaacttcggtagaaatacagaagctta' ...  'cggctggcggacaacggactggcggattccaaaaacggaggaggcggacggaggc'];  
a = 0; b = 0; c = 0; d = 0; e = 0;    
for charIdx = 1:length(fid1)  currChar = fid1(charIdx);  if currChar == 'a'  a = a + 1;  elseif currChar == 'c'  b = b + 1;  elseif currChar == 'g'  c = c + 1;  elseif currChar == 't'  d = d + 1;  elseif currChar >= 'a' && currChar <= 'z'  e = e + 1; % 超出范围的个数 end  
end   
f = [a b c d e];  
he = sum(f);  
disp('a,c,g,t个数')
disp(f);  
disp('总个数')
disp(he);  
countsNames = {'a', 'c', 'g', 't'};
figure;   
bar(1:4, f(:,1:4));
set(gca, 'XTickLabel', countsNames);  
xlabel('字符'); 
ylabel('频数');
title('字符频数直方图'); 

2 .统计量 

假设有一个容量为n 的样本（即一组数据），需要对它进 行一定的加工，才能提出有用的信息，用作对总体（分布）参数的估计和检验。统计量反映样本数量特征的函数，它不含任何未知量。

下面我们介绍几种常用的统计量：

Matlab 中 std(x)返回 x 的标准差，var(x)返回方差，range(x)返回极差 。

上述标准差被（n-1)除是因为方差的无偏估计，若需要改为被n 除，Matlab 可用 std(x,1)和 var(x,1)来实现。

峰度可以用作衡量偏离正态分布的尺度之一 。

Matlab 中 moment(x,order)返回 x 的 order 阶中心矩，order 为中心矩的阶数。 skewness(x)返回 x 的偏度，kurtosis(x)返回峰度。

对上面给出的学生身高和体重数据，用 Matlab 计算以上统计量，程序如下：

clc 
load data.txt; 
high=data(:,1:2:9);high=high(:); 
weight=data(:,2:2:10);weight=weight(:);
shuju=[high weight]; 
jun_zhi=mean(shuju);
zhong_wei_shu=median(shuju); 
biao_zhun_cha=std(shuju) ;
ji_cha=range(shuju) ;
pian_du=skewness(shuju) ;
feng_du=kurtosis(shuju);
f=[jun_zhi zhong_wei_shu biao_zhun_cha ji_cha pian_du feng_du];
disp('均值、中位数、标准差、极差、偏度、峰度')
disp(f);  

3.统计中几个重要的概率分布 

3.1正态分布 

3.2卡方分布 

3.3 t分布 

3.4 F分布 

3.5MATALB中的命令

Matlab 统计工具箱中有 27 种概率分布，这里只对上面所述 4 种分布列出命令的字符：

norm 正态分布；

chi2 卡方分布；

t t 分布；

f F 分布；

工具箱对每一种分布都提供 5 类函数，其命令的字符是： pdf 概率密度； cdf 分布函数； inv 分布函数的反函数； stat 均值与方差； rnd 随机数生成 。

如下：生成标准正态分布和N（0，4）的正态分布，并画出图像程序：

clc;clear;
x=-6:0.01:6;
y=normpdf(x);
z=normpdf(x,0,2); 
plot(x,y,x,z),
gtext('N(0,1)'),gtext('N(0,2^2)') 

4.正态总体统计量的分布 

用样本来推断总体，需要知道样本统计量的分布，而样本又是一组与总体同分布的随机变量，所以样本统计量的分布依赖于总体的分布。当总体服从一般的分布时，求某个样本统计量的分布是很困难的，只有在总体服从正态分布时，一些重要的样本统计量 （均值、标准差）的分布才有便于使用的结果。另一方面，现实生活中需要进行统计推断的总体，多数可以认为服从（或近似服从）正态分布。

下面是用均值和标准差构造的几个常用分布：

5.参数估计 

5.1 点估计 

点估计是用样本统计量确定总体参数的一个数值。评价估计优劣的标准有无偏性、 最小方差性、有效性等，估计的方法有矩法、极大似然法等。

5.2 区间估计 

置信区间越小，估计的精度越高；置信水平越大，估计的可信程度越高。但是这两个指标显然是矛盾的， 通常是在一定的置信水平下使置信区间尽量小。通俗地说，区间估计给出了点估计的误 差范围。 

5.3 参数估计的 Matlab 实现

Matlab 统计工具箱中，有专门计算总体均值、标准差的点估计和区间估计的函数。 对于正态总体，命令是：

[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha)

其中 x 为样本（数组或矩阵），alpha 为显著性水平α （alpha 缺省时设定为 0.05），返 回总体均值 μ 和标准差σ 的点估计 mu 和 sigma，及总体均值 μ 和标准差σ 的区间估计 muci 和 sigmaci。当 x 为矩阵时，x 的每一列作为一个样本。

 6.假设检验

6.1 单个正态总体均值 μ 的检验

 6.2 方差已知，关于 μ 的检验（ Z 检验）

在 Matlab 中 Z 检验法由函数 ztest 来实现，命令为 ：

[h,p,ci]=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail)

示例： 

x=[0.497 0.506 0.518 0.524 0.498... 0.511 0.520 0.515 0.512]; 
[h,p,ci]=ztest(x,0.5,0.015)

求得 h=1，p=0.0248，说明在 0.05 的水平下，可拒绝原假设，即认为这天包装机 工作不正常。 

6.3 方差未知，关于 μ 的检验（t 检验） 

 在 Matlab 中t 检验法由函数 ttest 来实现，命令为：

[h,p,ci]=ttest(x,mu,alpha,tail)

示例：

x=[159 280 101 212 224 379 179 264 ... 222 362 168 250 149 260 485 170]; 
[h,p,ci]=ttest(x,225,0.05,1)

求得 h=0，p=0.2570，说明在显著水平为 0.05 的情况下，不能拒绝原假设，认为元件的平均寿命不大于 225 小时。

6.4两个正态总体均值差的检验（t 检验）

还可以用t 检验法检验具有相同方差的 2 个正态总体均值差的假设。在 Matlab 中 由函数 ttest2 实现，命令为：

[h,p,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail)

与上面的 ttest 相比，不同处只在于输入的是两个样本 x,y（长度不一定相同）， 而不是一个样本和它的总体均值；tail 的用法与 ttest 相似。

示例：

x=[78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.6 76.7 77.3]; 
y=[79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1]; 
[h,p,ci]=ttest2(x,y,0.05,-1) 

求得 h=1,p=2.2126e-04。表明在α = 0.05 的显著水平下，可以拒绝原假设，即认为建议的新操作方法较原方法优。 

也可以做方差不相等的假设检验，使用格式为： h = ttest2(x,y,alpha,tail, 'unequal')

 7.分布拟合检验

在实际问题中，有时不能预知总体服从什么类型的分布，这时就需要根据样本来检 验关于分布的假设。

示例：

程序：

clc 
x=[141 148 132 138 154 142 150 146 155 158 ... 
150 140 147 148 144 150 149 145 149 158 ... 
143 141 144 144 126 140 144 142 141 140 ... 
145 135 147 146 141 136 140 146 142 137 ... 
148 154 137 139 143 140 131 143 141 149 ... 
148 135 148 152 143 144 141 143 147 146 ... 
150 132 142 142 143 153 149 146 149 138 ... 
142 149 142 137 134 144 146 147 140 142 ... 
140 137 152 145]; 
mm=minmax(x) 
hist(x,8) %画直方图
fi=[length(find(x<135)),... length(find(x>=135&x<138)),... length(find(x>=138&x<142)),... length(find(x>=142&x<146)),... length(find(x>=146&x<150)),... length(find(x>=150&x<154)),... length(find(x>=154))] %各区间上出现的频数
mu=mean(x),sigma=std(x) 
fendian=[135,138,142,146,150,154] %区间的分点
p0=normcdf(fendian,mu,sigma) 
p1=diff(p0) 
p=[p0(1),p1,1-p0(6)] 
chi=(fi-84*p).^2./(84*p) 
chisum=sum(chi);
x_a=chi2inv(0.9,4) %chi2分布的0.9分位数

 

求得皮尔逊统计量chisum= 2.2654，

故在 水平0.1下接受 H0 ，即认为数据来自正态分布总体。