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一、树的概念

1.1 树的定义

1）树型结构（一对多）是⼀类重要的非线性数据结构

2 ）有⼀个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

3）除了根节点外 ， 其余结点被分成 M（M > 0) 个互不相交的集合 T1  ,  T2.....Tm , 其中每个集合 Ti (  1   <= i <=  m)  又是一棵结构与树类似的子树 。 每棵子树的根节点有且只有一个前驱 ， 可以有 0 个 或者多个后继 。 因此 ， 树是递归定义的。

1.2 树的基本术语

• 结点的度 ： 一个结点有几个孩子 --> 度就有多少 
• 树的度 ： 一棵树中 ， 最大的结点的度称为树的度 
• 父结点 / 双亲结点 ： 若一个结点含有子节点 ， 则这个结点称为其子节点的父结点 
• 子节点 / 孩子结点 : 一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子节点
• 叶子结点 / 终端结点 ： 度为 0 的结点称为叶节点 
• 分支结点 / 非终端结点： 度不为0的结点 
• 兄弟结点 ： 具有相同父结点 相互成为兄弟结点 （ 亲兄弟 )
• 结点的层次 : 从根开始定义起 ， 根为 第一层 ， 根的子结点为第二层 ，依次类推
• 树的高度 或 深度 ： 树中结点的最大层次 
• 路径 : 一条从树中任意结点出发 ， 沿父结点 --> 子结点 连接 ，达到任意结点 的序列

树的概念与结构-CSDN博客

1.3 有序树和无序树

1）有序树：结点的子树按照从左往右的顺序排列，不能更改。

2）无序树：结点的子树之间没有顺序，随意更改。

这个认知会在我们后续学习二叉树的时候用到，因为二叉树需要区分左右孩子

在算法竞赛中 ， 遇到的基本上都是无序树 ， 也就是说 ， 不需要考虑孩子结点的顺序

在有序树的视角中 ， 上面两棵树 不相同 ；

但是在无序树的视角中 ， 上面两棵树是相同的 。

1.4 有根树和无根树

1）有根树： 树的根节点已知，是固定的。

2）无根树：树的根节点未知，谁都可以是根结点

在有根树的视角中   ， 根结点为 : A 

 在无根树的视角中   ： 

无根树会导致父子关系不明确 ， 在存储时候需要注意 。 在算法竞赛中 ， 一般遇到的树一般都是无根树 ， 即使有根树 ， 也会存在父子关系未知的情况 。

二、树的存储

1）树结构相对线性结构来说就比较复杂 。存储时，既要保存值域，也要保存结点与结点之间的关系。

2）实际中树有很多种存储方式：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。

2.1 孩子表示法

1） 对于每一个结点，只存储所有孩子的信息。

注意：如果在无根树之中 ， 如何知道谁是孩子 ？ 谁是父亲呢？

---->  管他三七二十一  ！！！直接把相连的结点都存储起来！！！ 都给我存！起！来！

2.2 实现方式一：用vector数组实现

在算法中 ， 一般会给出树结构都是有编号的  ， 以简化我们的操作

上面的题目，虽然告知了根结点是 1 ， 但是其他的结点之间的关系还是未知的 ， 所以我们还是需要当成无序树来处理 。

1） 创建一个大小足够的 vector 数组 ：vector<int> edges[10];

2)   对于 i 的孩子 ， 直接 edges[i] .push_back 进去即可 。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;
int n;
vector<int> edges[N];int main()
{cin >> n;for(int i = 1;i <n ;i ++){int a,b;cin >> a >> b;edges[a].push_back(b);edges[b].push_back(a);  }return 0;
}

2.3 实现方式二：链式前向星

本质上就是用   链表存储  所有孩子 ， 其中链表是用数组模拟实现的 。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;
int h[N],e[N*2],ne[N*2],id;int n;
//其实就是把 b 头插到 a 的链表后面 
void add(int a,int b)
{id++;e[id] = b;ne[id] = h[a];h[a] = id;
}
int main()
{cin >> n;for(int i = 1;i <n;i++){int a,b;cin >> a >> b;add(a,b);add(b,a);}return 0;
}

2.4 总结

1）前者由于用到了容器 vector，实际运行起来相比较于后者更耗时，因为 vector 是动态实现的。

2）但是在如今的算法竞赛中，⼀般不会无聊到卡这种常数时间。也就是 vector 虽然慢，但不会因此而超时。

三、树的遍历

树的遍历就是不重不漏的将树中所有的点都扫描一遍

在之前学过的线性结构中，遍历就很容易，直接从前往后扫描⼀遍即可。但是在树形结构中， 如果不按照⼀定的规则遍历，就会漏掉或者重复遍历⼀些结点 。因此，在树形结构中，要按照⼀定规则去遍历。

常用的遍历方式有两种，一种是深度优先遍历，另一种是宽度优先遍历。

注意 ！！！

树的遍历是许多关于树的算法的知识 ， 一定要掌握啊！！！

3.1 深度优先遍历 -DFS

1）深度优先遍历（DFS -- Depth First Search） ， 是一种用于遍历 或 搜索树或图的算法 。

2）每次尝试向更深的结点走  --> 一条路走到黑 ！！！走到不能再走的时候 ， 返回 ， 继续走其他的路。

                                                              不撞南墙不回头！！！

 因此 ， DFS 其实就是利用 递归的形式遍历 ， 可以用递归来实现 ！

3.1.1 用vector 数组存储

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;
int n;
vector<int> edges[N];//存储图
bool st[N];//标记哪些点已经访问了 
//方法一：vector 实现 void dfs(int u)
{cout << u << " ";st[u] = true;//说明当前这个点已经访问过了//访问所有的孩子 for(auto v:edges[u]){if(!st[v]){dfs(v);}} 
}
int main()
{//建树cin >> n;for(int i = 1; i< n;i++){int a,b;cin >> a >> b;edges[a].push_back(b);edges[b].push_back(a);  } //深度优先遍历dfs(1); return 0;
}

3.1.2 链式向前星存储

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;const int N = 1e5 +10;
int id,h[N],e[N*2],ne[N*2];
int n;
bool st[N];//标记哪些点已经访问过了void add(int a,int b)
{id++;e[id] = b;ne[id] = h[a];h[a] = id;
}void dfs(int u)
{cout << u << " ";st[u] = true;for(int i = h[u];i; i = ne[i]){int v = e[i]; // 孩子if(!st[v])dfs(v); }
}
int main()
{//建树 cin >> n;for(int i = 1;i<n ; i++){int a,b;cin >> a >> b;add(a,b);add(b,a);}//深度优先遍历dfs(1); return 0;
}

与使用vectoc 存储的打印结果不同 ， 因为vector 是尾插到数的后面 ， 但是链式前向星是头插。

时间复杂度 ：

简单估计⼀下，在 dfs 的整个过程中，会把树中所有的边扫描量两遍。边的数量为 n − 1 ， 因此时间复杂度为 O(N) 。

空间复杂度：

最差情况下，结点个数为 n 的树，⾼度也是 n ，也就是变成⼀个链表。此时递归的深度也是 n ， 此时的空间复杂度为 O(N) 。

3.2 宽度优先遍历 - BFS

宽度优先遍历( BFS --- Breadth First Search)，也叫广度优先遍历。也是⼀种用于遍 或搜索树或图的算法。 所谓宽度优先。就是每次都尝试访问同⼀层的节点。 如果同⼀层都访问完了，再访问下一层。

                                                      一层一层来

3.1.1 用vector 数组存储

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;
bool st[N]; //标记哪一个点已经入队了
int n;
vector<int> edges[N]; void bfs()
{queue<int> q;q.push(1);st[1] = true;while(q.size()){int u = q.front() ;q.pop() ;cout << u << " ";for(auto v : edges[u]){if(!st[v])	{q.push(v);st[v] = true;}}	} 
}
int main()
{//建树 cin >> n;for(int i = 1 ;i< n ; i++){int a, b;cin >> a >> b;edges[a].push_back(b);edges[b].push_back(a);  }//宽度优先遍历bfs(); return 0;
}

3.1.2 链式向前星存储

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;const int N = 1e5 +10;
bool st[N];
int id,e[N*2],ne[N*2],h[N];
int n;void add(int a,int b)
{id++;e[id] = b;ne[id] = h[a];h[a] = id;
}
void bfs()
{queue<int> q;q.push(1);st[1] = true;while(q.size() ){int u = q.front() ;q.pop() ;cout << u << " ";for(int i = h[u]; i ; i = ne[i]){int v = e[i];if(!st[v]){q.push(v);st[v] = true; }}}
}
int main()
{cin >> n;//建树for(int i = 1;i<n;i++){int a,b;cin >> a >> b;add(a,b);add(b,a);} bfs();return 0;
}

时间复杂度： 所有结点只会入队一次，然后出队一次，因此时间复杂度为 O(N) 

空间复杂度： 最坏情况下，所有的非根结点都在同⼀层，此时队列里面最多有 n-1 个元素，空间复杂度为 O(N)