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news 2025/9/17 18:40:03

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本节课在线学习视频（网盘地址，保存后即可免费观看）：

https://pan.quark.cn/s/06d5ed47e33b

AVL树是平衡二叉搜索树的一种，它通过旋转操作来保持树的平衡。AVL树的特点是，任何节点的两个子树的高度最大差别为1。本文将详细介绍AVL树中的旋转操作及其实现过程，并通过多个代码案例来说明这些操作的应用。

1. AVL树的基本概念

AVL树是一种自平衡二叉搜索树，其核心思想是通过旋转操作来维持树的平衡。旋转操作有四种：左旋、右旋、左右旋和右左旋。旋转操作的目的是调整树的结构，使其保持平衡，从而保证二叉搜索树的性能。

平衡因子

平衡因子是指某个节点的左子树高度减去右子树高度的值。AVL树的每个节点的平衡因子只能是-1、0或1。

2. 旋转操作

2.1 右旋（Right Rotation）

右旋是对某个节点进行的单次旋转，使得该节点的左子树成为其父节点。

案例1：右旋操作

class AVLNode {int val;int height;AVLNode left;AVLNode right;AVLNode(int val) {this.val = val;this.height = 1;}
}public class AVLTree {private int height(AVLNode node) {if (node == null) return 0;return node.height;}private AVLNode rightRotate(AVLNode y) {AVLNode x = y.left;AVLNode T2 = x.right;x.right = y;y.left = T2;y.height = Math.max(height(y.left), height(y.right)) + 1;x.height = Math.max(height(x.left), height(x.right)) + 1;return x;}public static void main(String[] args) {AVLTree tree = new AVLTree();AVLNode root = new AVLNode(30);root.left = new AVLNode(20);root.left.left = new AVLNode(10);root = tree.rightRotate(root);System.out.println("After right rotation, root is: " + root.val);}
}

在这个例子中，我们对根节点进行了右旋操作，使其左子树成为新的根节点。

2.2 左旋（Left Rotation）

左旋是对某个节点进行的单次旋转，使得该节点的右子树成为其父节点。

案例2：左旋操作

class AVLTree {// 同上private AVLNode leftRotate(AVLNode x) {AVLNode y = x.right;AVLNode T2 = y.left;y.left = x;x.right = T2;x.height = Math.max(height(x.left), height(x.right)) + 1;y.height = Math.max(height(y.left), height(y.right)) + 1;return y;}public static void main(String[] args) {AVLTree tree = new AVLTree();AVLNode root = new AVLNode(10);root.right = new AVLNode(20);root.right.right = new AVLNode(30);root = tree.leftRotate(root);System.out.println("After left rotation, root is: " + root.val);}
}

在这个例子中，我们对根节点进行了左旋操作，使其右子树成为新的根节点。

2.3 左右旋（Left-Right Rotation）

左右旋是对某个节点进行的两次旋转：先对其左子树进行左旋，再对该节点进行右旋。

案例3：左右旋操作

class AVLTree {// 同上private AVLNode leftRightRotate(AVLNode node) {node.left = leftRotate(node.left);return rightRotate(node);}public static void main(String[] args) {AVLTree tree = new AVLTree();AVLNode root = new AVLNode(30);root.left = new AVLNode(10);root.left.right = new AVLNode(20);root = tree.leftRightRotate(root);System.out.println("After left-right rotation, root is: " + root.val);}
}

在这个例子中，我们对根节点进行了左右旋操作，先对其左子树进行左旋，再对根节点进行右旋。

2.4 右左旋（Right-Left Rotation）

右左旋是对某个节点进行的两次旋转：先对其右子树进行右旋，再对该节点进行左旋。

案例4：右左旋操作

class AVLTree {// 同上private AVLNode rightLeftRotate(AVLNode node) {node.right = rightRotate(node.right);return leftRotate(node);}public static void main(String[] args) {AVLTree tree = new AVLTree();AVLNode root = new AVLNode(10);root.right = new AVLNode(30);root.right.left = new AVLNode(20);root = tree.rightLeftRotate(root);System.out.println("After right-left rotation, root is: " + root.val);}
}

在这个例子中，我们对根节点进行了右左旋操作，先对其右子树进行右旋，再对根节点进行左旋。

3. AVL树的插入操作

AVL树的插入操作需要在插入新节点后，检查节点的平衡因子，并根据平衡因子进行相应的旋转操作，以保持树的平衡。

案例5：AVL树的插入操作

public class AVLTree {// 同上private int balanceFactor(AVLNode node) {if (node == null) return 0;return height(node.left) - height(node.right);}public AVLNode insert(AVLNode node, int val) {if (node == null) return new AVLNode(val);if (val < node.val) node.left = insert(node.left, val);else if (val > node.val) node.right = insert(node.right, val);else return node;node.height = 1 + Math.max(height(node.left), height(node.right));int balance = balanceFactor(node);if (balance > 1 && val < node.left.val) return rightRotate(node);if (balance < -1 && val > node.right.val) return leftRotate(node);if (balance > 1 && val > node.left.val) {node.left = leftRotate(node.left);return rightRotate(node);}if (balance < -1 && val < node.right.val) {node.right = rightRotate(node.right);return leftRotate(node);}return node;}public static void main(String[] args) {AVLTree tree = new AVLTree();AVLNode root = null;int[] values = {10, 20, 30, 40, 50, 25};for (int val : values) {root = tree.insert(root, val);}System.out.println("AVL Tree constructed successfully.");}
}

在这个例子中，我们实现了AVL树的插入操作。每次插入新节点后，我们检查平衡因子，并通过旋转操作保持树的平衡。