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今天是动态规划最后一天的题了，整个过程已经接近尾声了！

647. 回文子串

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
  本题如果我们定义，dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。
  dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。
  在判断字符串S是否是回文，那么如果知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。
  那么此时是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。
  所以为了明确这种递归关系，dp数组是要定义成一位二维dp数组。
  布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

• 确定递推公式
  整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

  • 当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。
  • 当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
    • 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
    • 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
    • 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

if s[i] == s[j]：if j - i <= 1：result += 1dp[i][j] = Trueelif dp[i + 1][j - 1]：result += 1dp[i][j] = True

• dp数组如何初始化
  dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。
  所以dp[i][j]初始化为false。

• 确定遍历顺序
  首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。
  dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：
  
  所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

• 举例推导dp数组
  

class Solution:def countSubstrings(self, s: str) -> int:dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))]result = 0for i in range(len(s)-1, -1, -1): #注意遍历顺序for j in range(i, len(s)):if s[i] == s[j]:if j - i <= 1: #情况一 和 情况二result += 1dp[i][j] = Trueelif dp[i+1][j-1]: #情况三result += 1dp[i][j] = Truereturn result

516.最长回文子序列

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
  dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
• 确定递推公式
  • 在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
    如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
  • 如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
    加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
    加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
    那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
• dp数组如何初始化
  首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。
  所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。
  其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。
• 确定遍历顺序
  从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：
  
  所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。
  j的话，可以正常从左向右遍历。
• 举例推导dp数组
  

class Solution:def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:dp = [[0 for _ in range(len(s))] for _ in range(len(s))]for i in range(len(s)):dp[i][i] = 1for i in range(len(s)-1,-1,-1):for j in range(i+1,len(s)):if s[i] == s[j]:dp[i][j] = dp[i+1][j-1] +2else:dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i+1][j])return dp[0][-1]

今天这两道题还挺绕的，第一题数组定义不能再根据以往经验来以最后一个字符为限，另外遍历顺序也有所不同！