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目录
1.控制系统的状态空间模型
1.1.状态空间模型
1.2 传递函数模型
1.3 传递函数转换为状态空间模型
1.4.状态空间模型转换为传递函数
1.5.状态空间模型转化为约当标准型
2.线性系统的时域分析
2.1.矩阵指数函数的计算
2.2.线型定常连续系统的状态空间模型求解
3.线性系统能控性和能观性
3.1.状态能控性判定
3.2.状态能观性的判定
3.3.能控标准型与能观标准型
3.4 按能控标准型分解和按能观标准型分解
3.5.最小实现函数
4.李雅普诺夫稳定性分析
4.1.对称矩阵正定性的判定
4.2.连续系统李雅普诺夫判定
4.3.离散系统李雅普诺夫方程求解
5.线性系统综合
5.1反馈控制系统的模型计算
5.2.系统状态反馈极点配置
5.3降维观测器设计
本文界面设计主要基于MATLAB GUI平台，结合控制系统基础理论和MATLAB控制系统工具箱，实现了用于线性系统理论及应用界面的设计。主要包括: 控制系统的状态空间模型，线性系统的时域分析，线性系统能控性和能观性，李雅普诺夫稳定性分析和线性系统综合。
1.控制系统的状态空间模型
1.1.状态空间模型
已知线型定常连续系统Σ（A,B,C,D），可调用函数ss(·)建立其状态空间模型，调用格式为：sys=ss(A,B,C,D)。
已知线型定常离散系统Σ（G,H,C,D），可调用函数ss(·)建立其状态空间模型，调用格式为：sys=ss(G,H,C,D,Ts)。其中，Ts为采样周期，输出sys为离散系统的状态空间描述。
图2 仿真界面
GUI界面的输入框和选择框上输入各输入项和选择项,按“确定”键,则有如图2所示的仿真界面输出。
1.2 传递函数模型
num=(bm,bm-1, … , b0)
den=(1,an-1, … , a0)
单输入单输出线型定常连续系统的调用格式为：
sys=tf(num,den)
单输入单输出线型定常离散系统的调用格式为：
sys=tf(num,den,Ts)
图3 传递函数模型
1.3 传递函数转换为状态空间模型
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
执行该命令后，输出为状态空间模型的系数矩阵A,B,C,D。
图4 传递函数转换为状态空间模型
1.4.状态空间模型转换为传递函数
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
执行该命令后，输出为传递函数分子和分母多项式的系数数组num，den。
图5 状态空间模型转换为传递函数
1.5.状态空间模型转化为约当标准型
[P,J]=jordan(A)
其中，J是A的约当标准型，P是将A变换为J的线性变换矩阵。
图6 状态空间模型转化为约当标准型
2.线性系统的时域分析
2.1.矩阵指数函数的计算
(1)对eAt进行数值计算时：eAt=expm(A)
计算结果如图1所示
图7 eAt数值计算
(2)对eAt进行符号计算时：eAt=expm(A)
其中，t为符号变量，表达式A*t为MATLAB的符号矩阵。
图8 eAt符号计算
2.2.线型定常连续系统的状态空间模型求解
(1）任意输入的系统响应函数lsim()
[y,t,x]=lsim( sys,u,t,x0)
其中，sys为系统的状态空间模型，t为时间坐标数组，u为输入信号对应于t的各时刻输入信号采样值组成的数组，x0为初始状态向量。
图9 任意输入的系统响应
(2）初始状态响应函数initial()
[y,t,x] = initial(sys,x0,t)
其中sys为输入的状态空间模型;x0为给定的初始状态;t为指定仿真计算状态响应的时间区间变量(数组)。
图10 初始状态响应
(3)连续系统离散化
将连续系统的传递函数模型和状态空间模型变换为离散系统的传递函数模型和状态空间模型,其主要调用格式为
sysd = c2d(sys,Ts,method)
其中，sys为输入的连续系统传递函数模型或状态空间模型;
sysd为离散化所得的离散系统传递函数模型或状态空间模型;
Ts为采样周期；
method为离散化方法选择变量,它可以为zoh、foh、tustin和matched等,分别对应于基于0阶和1阶保持器的离散化法、双线性法和零极点匹配法。
图11 连续系统离散化
3.线性系统能控性和能观性
3.1.状态能控性判定
Qc=ctrb(A,B)
Qc=ctrb(sys)
其中，第一种输入格式为直接给定系统矩阵A和输入矩阵B，第二种格式为给定状态空间模型sys。
输出矩阵Qc为计算所得的能控性矩阵。
基于能控性矩阵函数ctrb()及能控性矩阵Qc的秩的计算,就可以进行连续线性定常系统的状态能控性的代数判据判定。
k=rank(A)
k=rank(A,tol)
其中，A为输入矩阵，输出k为A的秩。
d=size(X)
m=size(X,dim)
[d1,d2,d3,...,dn]=size(X)
其中，输出d为数组X的各维的大小组成的一维数组；m为数组X的第dim维的大小；d1,d2,d3,…,dn为数组X的各维的大小。
图11 状态能控性判定
3.2.状态能观性的判定
Qo=obsv(A,C)
Qc=obsv(sys)
其中，第一种输入格式为直接给定系统矩阵A和输入矩阵C，第二种格式为给定状态空间模型sys。
输出矩阵Qo为计算所得的能观性矩阵。
基于能观性矩阵函数obsv()及能观性矩阵Qo秩的计算,就可以进行连续和离散线性定常系统的状态能观性的代数判据判定
图12 连续系统状态能控性判定
图13 离散系统状态能控性判定
3.3.能控标准型与能观标准型
MATLAB提供的建立系统标准型的函数cannon(·)只能用于建立对角线标准型和单输入单输出能控标准型。
图14 能控规范Ⅰ形
3.4 按能控标准型分解和按能观标准型分解
MATLAB提供了.按能控标准型分解的函数ctrbf(·)和按能观标准型分解的函数obsvf(·)。
图15 能控性分解
图16 能观性分解
3.5.最小实现函数
G_minreal=minreal(G)
其中，G_minreal为系统的最小实现，G为系统的状态空间模型。
图17 最小实现
4.李雅普诺夫稳定性分析
4.1.对称矩阵正定性的判定
A_eig=eig(A)
其中A_eig为矩阵A的全部特征值构成的向量。
判别矩阵P的正定性也可利用上述函数，若特征值全部大于0，则P正定。
另一种判定矩阵正定性的函数posit_def()的主要调用格式为
sym_P=posit_def(P)
其中,输入矩阵P须为对称矩阵,
输出sym_P为描述矩阵P的符号串。
输出sym_P为'positive', 'nonnegat','negative','nonposit'和'undifini'分别表示输入矩阵P为正定、非负定(半正定)、负定、非正定(半负定)与不定。
图18 对称矩阵正定性的判定
4.2.连续系统李雅普诺夫判定
求解连续系统李雅普诺夫方程ATP+PA=-Q中的对称矩阵P，调用格式为：
P=lyap(A',Q)
图19 连续系统李雅普诺夫判定
4.3.离散系统李雅普诺夫方程求解
求解离散系统李雅普诺夫方程GTPG-P=-Q中的对称矩阵P，调用格式为：
P=dlyap(G',Q)
图20 离散系统李雅普诺夫判定
5.线性系统综合
5.1反馈控制系统的模型计算
基于反馈系统模型函数fdb_model (),可方便地求解闭环控制系统的状态空间模型和传递函数模型。函数fdb_model()的调用格式为:
clsys = fdb_model(sys,K,H,type1,type2)
其中，sys为状态空间模型;K为反馈矩阵;H为前馈矩阵。
图21 反馈控制系统的模型计算
5.2.系统状态反馈极点配置
对于单输入线性定常系统Σ0(A,b)：
K=acker(A,b,p)
其中，p为闭环系统期望极点构成的一维数组，输出K为状态反馈矩阵。
其中，p为闭环系统期望极点构成的一维数组，输出K为状态反馈矩阵。该函数既可用于单输入系统，也可适用于多输入系统。
图22 极点配置
5.3降维观测器设计
降维观测器仿真函数rdobsv_lsim(),
函数obsv_lsim()的调用格式为[yt,eyt,t,xt,ext]=obsv_lsim(sys,G,u,t,x0,ex0)
其中，输入格式的sys为被控对象模型,G为状态观测器增益矩阵,
x0和ex0分别为被控对象和状态观测器的初始状态,
u和t分别为被控系统的输入信号采样序列和时间数组;
输出格式的yt和xt为被控对象的输出响应和状态响应, eyt和ext分别为状态观测器的输出和状态的估计值。
图23 降维观测器设计