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引言
在物理学中#xff0c;牛顿三大定律是描述经典力学中物体运动的基本定律。然而#xff0c;这些定律并不是孤立存在的#xff0c;它们可以从一个更为普遍的原理——最小作用量原理中推导出来。最小作用量原理是一个深刻而优雅的理论…从最小作用量原理推导牛顿三大定律
引言
在物理学中牛顿三大定律是描述经典力学中物体运动的基本定律。然而这些定律并不是孤立存在的它们可以从一个更为普遍的原理——最小作用量原理中推导出来。最小作用量原理是一个深刻而优雅的理论它指出物理系统的演化路径是使作用量达到极小值的路径。
本文的结构如下首先我们将介绍拉格朗日量的概念并通过简单的例子帮助理解。接着我们将详细解释最小作用量原理并通过光的传播和物体的抛物线运动等例子来说明其应用。然后我们会介绍变分法这是推导欧拉-拉格朗日方程的数学工具。最后我们将利用欧拉-拉格朗日方程推导出牛顿的三大定律。
通过这种结构我们希望展示出最小作用量原理如何统一地解释经典力学中的基本定律并揭示出自然界中运动的深层次规律。
拉格朗日量的直观理解
在开始之前让我们先理解什么是拉格朗日量Lagrangian。拉格朗日量可以简单理解为系统动能和势能的差值 L T − V L T - V LT−V
其中 T T T 是动能 V V V 是势能。
让我们通过几个简单的例子来理解
自由落体 想象你从高处扔下一个球。这个球有
动能 T 1 2 m v 2 T \frac{1}{2}mv^2 T21mv2由运动产生势能 V m g h V mgh Vmgh由高度产生 所以它的拉格朗日量是 L 1 2 m v 2 − m g h L \frac{1}{2}mv^2 - mgh L21mv2−mgh
弹簧振动 想象一个弹簧上挂着的小球
动能 T 1 2 m v 2 T \frac{1}{2}mv^2 T21mv2小球运动产生势能 V 1 2 k x 2 V \frac{1}{2}kx^2 V21kx2弹簧压缩或拉伸产生 它的拉格朗日量是 L 1 2 m v 2 − 1 2 k x 2 L \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}kx^2 L21mv2−21kx2
单摆 想象一个挂在绳子上摆动的小球
动能 T 1 2 m v 2 T \frac{1}{2}mv^2 T21mv2势能 V m g h m g L ( 1 − cos θ ) V mgh mgL(1-\cos\theta) VmghmgL(1−cosθ)其中 L L L是绳长 θ \theta θ是摆角 拉格朗日量为 L 1 2 m v 2 − m g L ( 1 − cos θ ) L \frac{1}{2}mv^2 - mgL(1-\cos\theta) L21mv2−mgL(1−cosθ)
拉格朗日量的物理意可以理解为系统的活力
动能代表系统的运动活力势能代表系统的储存活力它们的差值拉格朗日量描述了系统的总体状态
最小作用量原理简介
最小作用量原理是物理学中的一个重要概念它告诉我们自然界中的物体总是沿着使某个量称为“作用量”最小的路径运动。这个原理可以帮助我们理解为什么物体会以某种方式运动。
作用量的定义
作用量 S S S 是一个物理量它是拉格朗日量 L L L 在时间上的积分 S ∫ t 1 t 2 L d t S \int_{t_1}^{t_2} L \, dt S∫t1t2Ldt
其中 L L L 是拉格朗日量 t 1 t_1 t1 和 t 2 t_2 t2 分别是运动的起始时间和结束时间。
例子光的最短路径
一个经典的例子是光的传播。光在两点之间传播时总是选择最短的路径这就是我们常说的“光走直线”。实际上光选择的是使作用量最小的路径。
光在空气中传播光在均匀介质中传播时路径是一条直线因为这条路径使作用量最小。光在不同介质中传播当光从空气进入水中时它会发生折射。光的路径不再是直线而是折射后的曲线。这是因为光在不同介质中传播时速度不同作用量的计算也不同。光选择的路径是使总作用量最小的路径。
例子抛物线轨迹
想象一个物体在重力作用下从高处抛出。我们知道它的轨迹是一条抛物线。通过最小作用量原理我们可以理解这条抛物线是物体选择的使作用量最小的路径。
动能和势能物体的动能 T 1 2 m v 2 T \frac{1}{2}mv^2 T21mv2势能 V m g h V mgh Vmgh。拉格朗日量 L T − V 1 2 m v 2 − m g h L T - V \frac{1}{2}mv^2 - mgh LT−V21mv2−mgh。作用量 S ∫ t 1 t 2 ( 1 2 m v 2 − m g h ) d t S \int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{1}{2}mv^2 - mgh\right) \, dt S∫t1t2(21mv2−mgh)dt。
通过最小作用量原理我们可以找到使得 S S S 最小的路径这条路径就是物体的真实运动轨迹。
变分法基础
变分法是用来寻找某个量通常是积分达到极值的数学方法。在物理学中我们用变分法来寻找使作用量 S S S 达到极值的路径。
变分法的基本思想
变分法的核心思想是如果我们想要找到一个函数使得某个积分比如作用量达到最小值我们可以考虑对这个函数做微小的变化然后观察积分的变化。
设想一条真实路径 x ( t ) x(t) x(t) 和一条微小偏离的路径 x ( t ) δ x ( t ) x(t) \delta x(t) x(t)δx(t)其中 δ x ( t ) \delta x(t) δx(t) 是微小的变化。在路径的起点和终点变化为零 δ x ( t 1 ) δ x ( t 2 ) 0 \delta x(t_1) \delta x(t_2) 0 δx(t1)δx(t2)0
我们希望找到这样的路径使得作用量 S S S 的变化 δ S \delta S δS 为零 δ S δ ∫ t 1 t 2 L ( x , x ˙ , t ) d t 0 \delta S \delta \int_{t_1}^{t_2} L(x, \dot{x}, t) \, dt 0 δSδ∫t1t2L(x,x˙,t)dt0
例子寻找最短路径
假设你在一个平面上有两点 A A A 和 B B B你想找到从 A A A 到 B B B 的最短路径。直觉告诉我们这条路径应该是一条直线。变分法就是用来证明这条直线确实是最短路径的方法。
路径的表示假设路径用函数 y ( x ) y(x) y(x) 表示。路径长度的积分路径的长度可以表示为积分 ∫ x 1 x 2 1 ( y ′ ) 2 d x \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 (y)^2} \, dx ∫x1x21(y′)2 dx其中 y ′ d y d x y \frac{dy}{dx} y′dxdy。变分法应用通过对 y ( x ) y(x) y(x) 做微小变化 y ( x ) δ y ( x ) y(x) \delta y(x) y(x)δy(x)并要求路径长度的变化为零我们可以找到最短路径。
欧拉-拉格朗日方程的推导
考虑作用量的变分 δ S δ ∫ t 1 t 2 L ( x , x ˙ , t ) d t 0 \delta S \delta \int_{t_1}^{t_2} L(x, \dot{x}, t) \, dt 0 δSδ∫t1t2L(x,x˙,t)dt0
展开变分 δ S ∫ t 1 t 2 ( ∂ L ∂ x δ x ∂ L ∂ x ˙ δ x ˙ ) d t 0 \delta S \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial x} \delta x \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \delta \dot{x} \right) dt 0 δS∫t1t2(∂x∂Lδx∂x˙∂Lδx˙)dt0
注意到 δ x ˙ d d t ( δ x ) \delta \dot{x} \frac{d}{dt}(\delta x) δx˙dtd(δx)对第二项进行分部积分 ∫ t 1 t 2 ∂ L ∂ x ˙ δ x ˙ d t ∂ L ∂ x ˙ δ x ∣ t 1 t 2 − ∫ t 1 t 2 d d t ( ∂ L ∂ x ˙ ) δ x d t \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \delta \dot{x} \, dt \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \delta x \right|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) \delta x \, dt ∫t1t2∂x˙∂Lδx˙dt∂x˙∂Lδx t1t2−∫t1t2dtd(∂x˙∂L)δxdt
由于端点处 δ x 0 \delta x 0 δx0第一项消失。代回原式 δ S ∫ t 1 t 2 [ ∂ L ∂ x − d d t ( ∂ L ∂ x ˙ ) ] δ x d t 0 \delta S \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) \right] \delta x \, dt 0 δS∫t1t2[∂x∂L−dtd(∂x˙∂L)]δxdt0
由于 δ x \delta x δx 是任意的根据变分法的基本引理方括号中的式子必须为零 d d t ( ∂ L ∂ x ˙ ) − ∂ L ∂ x 0 \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) - \frac{\partial L}{\partial x} 0 dtd(∂x˙∂L)−∂x∂L0
这就是著名的欧拉-拉格朗日方程。它是最小作用量原理的数学表达也是我们推导牛顿运动定律的基础。
牛顿第一定律推导
牛顿第一定律惯性定律指出如果一个物体不受外力作用它将保持静止状态或匀速直线运动状态。我们可以利用前面推导的欧拉-拉格朗日方程来证明这一结论。
假设一个物体的拉格朗日量 L L L 仅依赖于位置 x x x 和速度 x ˙ \dot{x} x˙且不受外力作用 L 1 2 m x ˙ 2 L \frac{1}{2} m \dot{x}^2 L21mx˙2
其中 m m m 是物体的质量。将此拉格朗日量代入前面推导的欧拉-拉格朗日方程 d d t ( ∂ L ∂ x ˙ ) − ∂ L ∂ x 0 \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) - \frac{\partial L}{\partial x} 0 dtd(∂x˙∂L)−∂x∂L0
得到 d d t ( m x ˙ ) 0 \frac{d}{dt} (m \dot{x}) 0 dtd(mx˙)0
这意味着 m x ˙ m \dot{x} mx˙ 是一个常数即物体的速度 x ˙ \dot{x} x˙ 保持不变。因此如果物体不受外力作用它将保持静止状态或匀速直线运动状态这就是牛顿第一定律。
牛顿第二定律推导
牛顿第二定律加速度定律指出物体的加速度与所受外力成正比且加速度的方向与外力的方向相同。同样可以利用欧拉-拉格朗日方程来推导。
考虑包含势能的拉格朗日量 L 1 2 m x ˙ 2 − V ( x ) L \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x) L21mx˙2−V(x)
其中 V ( x ) V(x) V(x) 是势能满足 F − d V d x F -\frac{dV}{dx} F−dxdV。将此拉格朗日量代入欧拉-拉格朗日方程 d d t ( ∂ L ∂ x ˙ ) − ∂ L ∂ x 0 \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) - \frac{\partial L}{\partial x} 0 dtd(∂x˙∂L)−∂x∂L0
得到 d d t ( m x ˙ ) d V d x 0 \frac{d}{dt} (m \dot{x}) \frac{dV}{dx} 0 dtd(mx˙)dxdV0
由于 F − d V d x F -\frac{dV}{dx} F−dxdV可以得到牛顿第二定律 m x ¨ F m \ddot{x} F mx¨F
牛顿第三定律推导
牛顿第三定律作用与反作用定律同样可以通过欧拉-拉格朗日方程推导。考虑两个相互作用物体的拉格朗日量 L 1 2 m 1 x ˙ 1 2 1 2 m 2 x ˙ 2 2 − V ( x 1 , x 2 ) L \frac{1}{2} m_1 \dot{x}_1^2 \frac{1}{2} m_2 \dot{x}_2^2 - V(x_1, x_2) L21m1x˙1221m2x˙22−V(x1,x2)
对两个坐标分别应用欧拉-拉格朗日方程 d d t ( ∂ L ∂ x ˙ i ) − ∂ L ∂ x i 0 , i 1 , 2 \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial x_i} 0, \quad i 1,2 dtd(∂x˙i∂L)−∂xi∂L0,i1,2
得到 m 1 x ¨ 1 − ∂ V ∂ x 1 F 12 m_1 \ddot{x}_1 -\frac{\partial V}{\partial x_1} F_{12} m1x¨1−∂x1∂VF12 m 2 x ¨ 2 − ∂ V ∂ x 2 F 21 m_2 \ddot{x}_2 -\frac{\partial V}{\partial x_2} F_{21} m2x¨2−∂x2∂VF21
由于势能 V ( x 1 , x 2 ) V(x_1, x_2) V(x1,x2) 的对称性可以证明 F 12 − F 21 F_{12} -F_{21} F12−F21这就是牛顿第三定律。
总结与展望
通过本文的推导我们展示了如何从最小作用量原理出发利用拉格朗日量和变分法推导出经典力学中牛顿的三大定律。这一过程不仅揭示了牛顿定律背后的深层次原理也展示了物理学中不同理论之间的内在联系。
最小作用量原理作为一个普遍的物理原理不仅适用于经典力学还在量子力学、相对论和场论中发挥着重要作用。它为我们提供了一种统一的视角来理解自然界的规律。
