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数学优化问题是#xff1a;在给定约束条件下#xff0c;找到一个目标函数的最优解#xff08;最大值或最小值#xff09;。
2. 快速get理解
初学者对优化技术陌生的话#xff0c;可以把 “求解优化问题” 理解为 “解一个不等式方程组”#xff0c;解方程的。…1. 定义
数学优化问题是在给定约束条件下找到一个目标函数的最优解最大值或最小值。
2. 快速get理解
初学者对优化技术陌生的话可以把 “求解优化问题” 理解为 “解一个不等式方程组”解方程的。
以下我们用几个简单的例子来讲述什么是优化问题。 引用说明下面的公式来自MindOpt新发布的基于大模型的AI工程师生成的内容截图或者案例广场的案例里面的截图。
a. 比如一个鸡兔同笼问题 有一笼兔子和鸡兔子和鸡各有一个头兔子有4只脚鸡有两只脚。笼子上有 35 个头下有94 个脚。请问兔子和鸡的数目各是多少 对应的数学公式如下 可以看到公式是两个 “等号 ” 描写的约束关系的方程组。 这个时候算出来的结果是
兔子的数量x12鸡的数量y23
b. 而一个优化问题。 会增加不等式关系然后增加了一个目标。比如上面的例子更改下 有一笼兔子和鸡兔子和鸡各有一个头兔子有4只脚鸡有两只脚。笼子上有头至少有30个下面脚至多80个。要想兔子最多请问最多有多少个兔子 这个时候对应的数学公式的约束就是个不等式的关系另外增加了个maximize x也就是优化的目标。 这个时候如果只考虑不等式的约束解可能就是个域有多种解、多个可行域。 比如 x1,y29; x3,y29; x3, y 30……等等
增加了要将x最大化这个目标就相当于在这个域里面找最大值。这个时候可以利用优化求解器进行计算得出最优目标时候的变量取值如下
兔子的数量 x10,鸡的数量y20.
需要注意的是在有些情况下最优目标时的变量取值也有可能是个域多解的情况。
这里是不是有高中学线性规划的感觉了比如下面的高一题目是不是很熟悉
3. 拓展思路
3.1 拓展应用场景
在业务场景中使用优化的方法来描述业务遇到的问题。比如 电商平台要为一家新兴手游公司进行广告推广平台有两种广告类型可供选择类型A、类型B、类型C。广告类型A的转化率为5%每投放一次费用为10元广告类型B的转化率为8%每投放一次费用为15元; 广告类型B的转化率为7.7%每投放一次费用为12元。手游公司需要至少获得1000次投放并且总费用不能超过20000元。每种类型广告都希望至少投放5次。平台希望最大化累计转化数要如何规划广告投放 得到如下的优化问题数学公式 最后用优化求解器算得的解是 广告类型A投放次数5 广告类型B投放次数6 广告类型C投放次数1655 目标函数值 128.165 3.2 拓展问题维度和类型
上面的问题都只有几个变量未知数还比较简单如果有很多的变量呢方程将很长一般是用矩阵的方式来表达。比如 也有用 大sigma 来表达求和∑的比如下面几个金融投资里面应用的优化问题
这里还关注下几个数学概念 x * x代表二次。优化问题里面常说的“线性”就是一次关系y 3x就是一次的线性关系。y 4 x*x 就是二次的属于非线性关系。 如果有的变量只能是整数不能是小数就是“离散的”。与之相对的是“连续的”。离散的问题优化起来会方法不一样会变困难因此经常有问题需要松弛下使得变为连续的。 还有问题 “凸” 和 “非凸”。凸优化是个研究生课程比较难。普通人需要掌握凸问题更好求解非凸不好求解因此列数学公式描述业务问题时尽量避免非凸的情况。
4. 更丰富的优化问题类型列表
更进一步的优化问题的数学模型根据不同的业务有很复杂的模型。基本就是要掌握好可以控制的变量、不等式关系的约束、优化目标的情况。
不同的数学模型适合不同的场景在优化问题计算的时候也会有不同的复杂度。
常见的问题类型会以下的词汇来描述 比如
线性规划英文是Linear Programming简称LP对应的数说目标函数是线性关系。如果加上变量有些是整数integer则组合成MILPMixed Integer Programming混合整数的线性规划问题。如果目标里面有二次项则称为二次规划 QPQuadratic Programming。如果约束里面有二次项则称为二次约束规划 QC Quadratic Constraint组合还有QCQP再进一步的根据目标约束的类型还可以进一步分类描述不同类型的问题再进一步根据问题的优化计算方式还可以取名字比如零阶优化、黑盒优化等
类目很多可遇到了后再查询标准术语。
4. 优化问题的应用
优化问题在运筹学、工程、经济学、物流、能源、金融等许多领域有应用。属于底层的数学技术 应用面很广。在航空、航天、国防等也有应用。
对应的求解优化问题的优化求解器可以广泛应用于电力系统调度、生产计划、物流路径规划、投资组合优化等多个领域。使用优化求解器可以帮助用户更方便、更快速地找到问题的最优解。
推荐可以去阿里达摩院求解器的案例广场看看了解应用场景和对应的简单的数学模型、源代码。
5. 优化问题的计算
在实际业务里一般情况下不太需要关心求解的方法是借助工具来完成计算。更多地是需要了解不同算法计算的复杂度是否能快速求解如果不能如何变更优化问题使得能快速求解。
在选择或者研究求解器时一般会评估如下特性
是否能求解求解速度稳定性大规模问题求解能力和计算资源占用接口易用性
小编这里推荐去MindOpt的平台去看商用的和开源的求解器软件从这个案例复制项目进去用https://opt.aliyun.com/example/vqaeimyI3iEj 。全程浏览器里面操作不需要操心软件安装和License。
更多的优化软件可以参考我之前的博客https://blog.csdn.net/wuyoy520/article/details/134185148
