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原始 Markdown文档、Visio流程图、XMind思维导图见：https://github.com/LiZhengXiao99/Navigation-Learning

一、Earth 类：地球参数和坐标转换

Earth 类里都是静态函数，使用的时候直接类名::成员函数()，文件的开头定义了一些椭球参数：

/* WGS84椭球模型参数NOTE:如果使用其他椭球模型需要修改椭球参数 */
const double WGS84_WIE = 7.2921151467E-5;       /* 地球自转角速度*/
const double WGS84_F   = 0.0033528106647474805; /* 扁率 */
const double WGS84_RA  = 6378137.0000000000;    /* 长半轴a */
const double WGS84_RB  = 6356752.3142451793;    /* 短半轴b */
const double WGS84_GM0 = 398600441800000.00;    /* 地球引力常数 */
const double WGS84_E1  = 0.0066943799901413156; /* 第一偏心率平方 */
const double WGS84_E2  = 0.0067394967422764341; /* 第二偏心率平方 */

1、gravity()：正常重力计算

重力是万有引力与离心力共同作用的结果，随纬度升高离心力增大但引力减小、随高程升高引力减小，共同作用下重力的计算公式如下：

$$\begin{gathered} g_L=9.7803267715\times \left(1+0.0052790414\times {\sin }^{2}L-0.0000232718\times {\sin }^{2}2L\right) \\ +h\times (0.0000000043977311\times {\sin }^{2}L-0.0000030876910891)+0.0000000000007211\times {\sin }^{4}2L \end{gathered}$$

static double gravity(const Vector3d &blh) {double sin2 = sin(blh[0]);sin2 *= sin2;return 9.7803267715 * (1 + 0.0052790414 * sin2 + 0.0000232718 * sin2 * sin2) +blh[2] * (0.0000000043977311 * sin2 - 0.0000030876910891) + 0.0000000000007211 * blh[2] * blh[2];
}

2、meridianPrimeVerticalRadius()：计算子午圈半径 RM、卯酉圈半径 RN

返回值是 Vector2d，第一个是子午圈主曲率半径 RM、第二个是卯酉圈主半径 RN：
$$R_M=\frac{R_e\left(1-e^2\right)}{{\left(1-e^2{\sin }^{2}L\right)}^{3/2}}、R_N=\frac{R_e}{\sqrt{1-e^2{\sin }^{2}L}}$$

static Eigen::Vector2d meridianPrimeVerticalRadius(double lat) {double tmp, sqrttmp;tmp = sin(lat);	tmp *= tmp;tmp     = 1 - WGS84_E1 * tmp;sqrttmp = sqrt(tmp);return {WGS84_RA * (1 - WGS84_E1) / (sqrttmp * tmp), WGS84_RA / sqrttmp};
}

3、RN()：计算卯酉圈主半径 RN

$$R_N=\frac{R_e}{\sqrt{1-e^2{\sin }^{2}L}}$$

static double RN(double lat) {double sinlat = sin(lat);return WGS84_RA / sqrt(1.0 - WGS84_E1 * sinlat * sinlat);
}

4、cne()：n系(导航坐标系)到e系(地心地固坐标系)转换矩阵

$$\begin{gathered} C_e^n=\left[\begin{array}{ccc}-\sin \phi & 0& \cos \phi \\ 0& 1& 0\\ -\cos \phi & 0& -\sin \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \lambda & \sin \lambda & 0\\ -\sin \lambda & \cos \lambda & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]= \\ \left[\begin{array}{ccc}-\sin \phi \cos \lambda & -\sin \phi \sin \lambda & \cos \phi \\ -\sin \lambda & \cos \lambda & 0\\ -\cos \phi \cos \lambda & -\cos \phi \sin \lambda & -\sin \phi \end{array}\right] \end{gathered}$$

static Matrix3d cne(const Vector3d &blh) {double coslon, sinlon, coslat, sinlat;sinlat = sin(blh[0]);sinlon = sin(blh[1]);coslat = cos(blh[0]);coslon = cos(blh[1]);Matrix3d dcm;dcm(0, 0) = -sinlat * coslon;dcm(0, 1) = -sinlon;dcm(0, 2) = -coslat * coslon;dcm(1, 0) = -sinlat * sinlon;dcm(1, 1) = coslon;dcm(1, 2) = -coslat * sinlon;dcm(2, 0) = coslat;dcm(2, 1) = 0;dcm(2, 2) = -sinlat;return dcm;
}

5、qne()：计算n系(北东地)到e系(ECEF)转换四元数

位置更新的时候，调用此函数根据上一时刻经纬度，得到上一时刻的 qne，然后 qee * qne * qnn 得到当前时刻的 qne，再调用下面的 blh() 得到经纬度。
$${\mathbf{q}}_n^e=\left[\begin{array}{c}\cos (-\pi /4-\phi /2)\cos (\lambda /2)\\ -\sin (-\pi /4-\phi /2)\sin (\lambda /2)\\ \sin (-\pi /4-\phi /2)\cos (\lambda /2)\\ \cos (-\pi /4-\sin /2)\sin (\lambda /2)]\end{array}\right]$$

/* n系(导航坐标系)到e系(地心地固坐标系)转换四元数 */
static Quaterniond qne(const Vector3d &blh) {Quaterniond quat;double coslon, sinlon, coslat, sinlat;coslon = cos(blh[1] * 0.5);sinlon = sin(blh[1] * 0.5);coslat = cos(-M_PI * 0.25 - blh[0] * 0.5);sinlat = sin(-M_PI * 0.25 - blh[0] * 0.5);quat.w() = coslat * coslon;quat.x() = -sinlat * sinlon;quat.y() = sinlat * coslon;quat.z() = coslat * sinlon;return quat;
}

6、blh()：从n系到e系转换四元数得到纬度和经度

位置更新的时候，通过算当前时刻 n 系到 e 系转换四元数 qne，然后调用此函数得到经纬度。

/* 从n系到e系转换四元数得到纬度和经度 */
static Vector3d blh(const Quaterniond &qne, double height) {return {-2 * atan(qne.y() / qne.w()) - M_PI * 0.5, 2 * atan2(qne.z(), qne.w()), height};
}

7、blh2ecef()：大地坐标(经纬高)转地心地固坐标

$$\begin{array}{l}x=\left(R_N+h\right)\cos L\cos \lambda \\ y=\left(R_N+h\right)\cos L\sin \lambda \\ z=\left[R_N\left(1-e^2\right)+h\right]\sin L\end{array}$$

/* 大地坐标(纬度、经度和高程)转地心地固坐标 */
static Vector3d blh2ecef(const Vector3d &blh) {double coslat, sinlat, coslon, sinlon;double rnh, rn;coslat = cos(blh[0]);sinlat = sin(blh[0]);coslon = cos(blh[1]);sinlon = sin(blh[1]);rn  = RN(blh[0]);rnh = rn + blh[2];return {rnh * coslat * coslon, rnh * coslat * sinlon, (rnh - rn * WGS84_E1) * sinlat};
}

7、ecef2blh()：地心地固坐标转大地坐标

$$\begin{array}{c}{B}_0=\arctan \left(\frac{Z}{\left(1-e^2\right)p}\right)\\ N_k=\frac{a}{\sqrt{1-e^2{\sin }^2{B}_{k-1}}}\\ H_k=\frac{p}{\cos B_{k-1}}-N_k\\ B_k=\arctan \left(\frac{z}{\left(1-\frac{e^2{N}_k}{N_k}\right)p}\right)\end{array}$$

static Vector3d ecef2blh(const Vector3d &ecef) {double p = sqrt(ecef[0] * ecef[0] + ecef[1] * ecef[1]);double rn;double lat, lon;double h = 0, h2;// 初始状态lat = atan(ecef[2] / (p * (1.0 - WGS84_E1)));lon = 2.0 * atan2(ecef[1], ecef[0] + p);do {h2  = h;rn  = RN(lat);h   = p / cos(lat) - rn;lat = atan(ecef[2] / (p * (1.0 - WGS84_E1 * rn / (rn + h))));} while (fabs(h - h2) > 1.0e-4);return {lat, lon, h};
}

8、DRi()： 计算 n 系相对位置转大地坐标相对位置的矩阵

通过算出来的矩阵实现 ENU 和 LLH 之间的转换：

• 捷联惯导求出的速度是 n 系的，要转成经纬度增量就得用这个矩阵。
• 杆臂误差补偿时也需要用这个函数，因为杆臂是 n 系的，算出的 IMU 坐标和给的 GNSS 解都是经纬高。
• 存的位置是经纬高，GNSS 量测更新时候计算的是 ENU 下位置的增量，反馈的时候也需要此矩阵。

$$\left[\begin{array}{l}\delta \phi \\ \delta L\\ \delta H\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\left(R_M+H\right)}^{-1}& 0& 0\\ 0& {\left(R_N+H\right)}^{-1}& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\delta {\mathbf{p}}_N\\ \delta {\mathbf{p}}_E\\ \delta {\mathbf{p}}_B\end{array}\right]$$

/* n系相对位置转大地坐标相对位置 */
static Matrix3d DRi(const Vector3d &blh) {Matrix3d dri = Matrix3d::Zero();Eigen::Vector2d rmn = meridianPrimeVerticalRadius(blh[0]);dri(0, 0) = 1.0 / (rmn[0] + blh[2]);dri(1, 1) = 1.0 / ((rmn[1] + blh[2]) * cos(blh[0]));dri(2, 2) = -1;return dri;
}

9、DR()：计算大地坐标相对位置转 n 系相对位置的矩阵

就是上面 DRI() 计算矩阵的倒数。
$$\left[\begin{array}{l}\delta \phi \\ \delta L\\ \delta H\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\left(R_M+H\right)& 0& 0\\ 0& \left(R_N+H\right)& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\delta {\mathbf{p}}_N\\ \delta {\mathbf{p}}_E\\ \delta {\mathbf{p}}_B\end{array}\right]$$

/* 大地坐标相对位置转n系相对位置 */
static Matrix3d DR(const Vector3d &blh) {Matrix3d dr = Matrix3d::Zero();Eigen::Vector2d rmn = meridianPrimeVerticalRadius(blh[0]);dr(0, 0) = rmn[0] + blh[2];dr(1, 1) = (rmn[1] + blh[2]) * cos(blh[0]);dr(2, 2) = -1;return dr;
}

10、local2global()：局部坐标(在origin处展开)转大地坐标

在 enwn() 中被调用，为了方便能直接传入北东地（n 系）坐标计算 n 系相对于 e 系转动角速度在 n 系的投影。

static Vector3d local2global(const Vector3d &origin, const Vector3d &local) {Vector3d ecef0 = blh2ecef(origin);Matrix3d cn0e  = cne(origin);Vector3d ecef1 = ecef0 + cn0e * local;Vector3d blh1  = ecef2blh(ecef1);return blh1;
}

11、global2local()：大地坐标转局部坐标(在origin处展开)

好像整个程序中都没用到这个函数。

static Vector3d global2local(const Vector3d &origin, const Vector3d &global) {Vector3d ecef0 = blh2ecef(origin);Matrix3d cn0e  = cne(origin);Vector3d ecef1 = blh2ecef(global);return cn0e.transpose() * (ecef1 - ecef0);
}

static Pose global2local(const Vector3d &origin, const Pose &global) {Pose local;Vector3d ecef0 = blh2ecef(origin);Matrix3d cn0e  = cne(origin);Vector3d ecef1 = blh2ecef(global.t);Matrix3d cn1e  = cne(global.t);local.t = cn0e.transpose() * (ecef1 - ecef0);local.R = cn0e.transpose() * cn1e * global.R;return local;
}

12、iewe()：地球自转角速度投影到e系

$${\mathbf{\omega }}_{ie}^e={\left[\begin{array}{lll}0& 0& {\omega }_e\end{array}\right]}^T$$

static Vector3d iewe() {return {0, 0, WGS84_WIE};
}

13、iewn()：地球自转角速度投影到n系

$${\mathbf{\omega }}_{ie}^n={\left[\begin{array}{lll}{\omega }_e\cos \phi & 0& -{\omega }_e\sin \phi \end{array}\right]}^T$$

static Vector3d iewn(double lat) {return {WGS84_WIE * cos(lat), 0, -WGS84_WIE * sin(lat)};
}

也可以直接传入北东地（n 系）坐标计算：

static Vector3d iewn(const Vector3d &origin, const Vector3d &local) {Vector3d global = local2global(origin, local);return iewn(global[0]);
}

14、enwn()：n系相对于e系转动角速度投影到n系

由载体运动线速度和地球曲率引起，与东向、北向速度有关，与天向速度无关
$${\mathbf{\omega }}_{en}^n={\left[\begin{array}{lll}\frac{v_E}{R_N+h}& \frac{-v_N}{R_M+h}& -\frac{v_E\tan \phi }{R_N+h}\end{array}\right]}^T$$

static Vector3d enwn(const Eigen::Vector2d &rmn, const Vector3d &blh, const Vector3d &vel) {return {vel[1] / (rmn[1] + blh[2]), -vel[0] / (rmn[0] + blh[2]), -vel[1] * tan(blh[0]) / (rmn[1] + blh[2])};
}

同样也可以直接传入北东地（n 系）坐标计算：

static Vector3d enwn(const Vector3d &origin, const Vector3d &local, const Vector3d &vel) {Vector3d global     = local2global(origin, local);Eigen::Vector2d rmn = meridianPrimeVerticalRadius(global[0]);return enwn(rmn, global, vel);
}

二、Rotation 类：姿态转换

1、matrix2quaternion()：旋转矩阵转四元数

Eigen 中的四元数可以直接传入旋转矩阵（三维矩阵）构造：

static Quaterniond matrix2quaternion(const Matrix3d &matrix) {return Quaterniond(matrix);
}

2、quaternion2matrix()：四元数转旋转矩阵

四元数调用 toRotationMatrix() 函数，转为旋转矩阵：

static Matrix3d quaternion2matrix(const Quaterniond &quaternion) {return quaternion.toRotationMatrix();
}

3、matrix2euler()：旋转矩阵转欧拉角

ZYX 旋转顺序，前右下的 IMU，输出 RPY：

static Vector3d matrix2euler(const Eigen::Matrix3d &dcm) {Vector3d euler;euler[1] = atan(-dcm(2, 0) / sqrt(dcm(2, 1) * dcm(2, 1) + dcm(2, 2) * dcm(2, 2)));if (dcm(2, 0) <= -0.999) {euler[0] = atan2(dcm(2, 1), dcm(2, 2));euler[2] = atan2((dcm(1, 2) - dcm(0, 1)), (dcm(0, 2) + dcm(1, 1)));} else if (dcm(2, 0) >= 0.999) {euler[0] = atan2(dcm(2, 1), dcm(2, 2));euler[2] = M_PI + atan2((dcm(1, 2) + dcm(0, 1)), (dcm(0, 2) - dcm(1, 1)));} else {euler[0] = atan2(dcm(2, 1), dcm(2, 2));euler[2] = atan2(dcm(1, 0), dcm(0, 0));}// heading 0~2PIif (euler[2] < 0) {euler[2] = M_PI * 2 + euler[2];}return euler;
}

4、quaternion2euler()：四元数转欧拉角

先调用 toRotationMatrix() 转为旋转矩阵，再调用 matrix2euler() 转欧拉角：

static Vector3d quaternion2euler(const Quaterniond &quaternion) {return matrix2euler(quaternion.toRotationMatrix());
}

5、rotvec2quaternion()：等效旋转矢量转四元数

根据传入的旋转矢量，计算向量的长度作为旋转的角度，计算向量的归一化版本作为旋转的轴，然后调用 AngleAxisd()，将角度和轴转换为四元数。

static Quaterniond rotvec2quaternion(const Vector3d &rotvec) {double angle = rotvec.norm();       // 计算向量的长度作为旋转的角度Vector3d vec = rotvec.normalized(); // 计算向量的归一化版本作为旋转的轴return Quaterniond(Eigen::AngleAxisd(angle, vec));  // 调用 AngleAxisd()，将角度和轴转换为四元数
}

6、quaternion2vector()：四元数转旋转矢量

传入的四元数通过 Eigen::AngleAxisd 类的构造函数转换为角度轴（angle-axis）表示。角度轴是一个描述旋转的方法，其中旋转角度和旋转轴是两个独立的部分。然后，该函数返回这个角度轴表示的旋转的角度乘以旋转的轴，得到一个三维向量。这个向量的 x、y 和 z 分量分别对应于旋转轴在x、y 和 z 轴上的分量，而其长度（或者说范数）等于旋转角度。

static Vector3d quaternion2vector(const Quaterniond &quaternion) {Eigen::AngleAxisd axisd(quaternion);return axisd.angle() * axisd.axis();
}

7、euler2matrix()：欧拉角转旋转矩阵

三个欧拉角分别转为 ZYX 角轴，相乘之后构造旋转矩阵

static Matrix3d euler2matrix(const Vector3d &euler) {return Matrix3d(Eigen::AngleAxisd(euler[2], Vector3d::UnitZ()) *Eigen::AngleAxisd(euler[1], Vector3d::UnitY()) *Eigen::AngleAxisd(euler[0], Vector3d::UnitX()));
}

8、euler2quaternion()：欧拉角转四元数

三个欧拉角分别转为 ZYX 角轴，相乘之后构造四元数

static Quaterniond euler2quaternion(const Vector3d &euler) {return Quaterniond(Eigen::AngleAxisd(euler[2], Vector3d::UnitZ()) *Eigen::AngleAxisd(euler[1], Vector3d::UnitY()) *Eigen::AngleAxisd(euler[0], Vector3d::UnitX()));
}

9、skewSymmetric()：计算三维向量反对称阵

static Matrix3d skewSymmetric(const Vector3d &vector) {Matrix3d mat;mat << 0, -vector(2), vector(1), vector(2), 0, -vector(0), -vector(1), vector(0), 0;return mat;
}

10、quaternionleft()、quaternionright()：四元数矩阵

$$\mathbf{P}\circ \mathbf{Q}=\left[\begin{array}{cccc}{p}_0& -p_1& -p_2& -p_3\\ p_1& p_0& -p_3& p_2\\ p_2& p_3& p_0& -p_1\\ p_3& -p_2& p_1& p_0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{q}_0\\ q_1\\ q_2\\ q_3\end{array}\right]={\mathbf{M}}_P\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{cccc}{q}_0& -q_1& -q_2& -q_3\\ q_1& q_0& q_3& -q_2\\ q_2& -q_3& q_0& q_1\\ q_3& q_2& -q_1& q_0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{p}_0\\ p_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right]={\mathbf{M}}_Q^{\prime }\mathbf{P}$$

$${\mathbf{M}}_P=\left[\begin{array}{cccc}{p}_0& -p_1& -p_2& -p_3\\ p_1& p_0& -p_3& p_2\\ p_2& p_3& p_0& -p_1\\ p_3& -p_2& p_1& p_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{p}_0& -{\mathbf{p}}_v^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{p}}_v& p_0\mathbf{I}+\left({\mathbf{p}}_v\times \right)\end{array}\right]$$

static Eigen::Matrix4d quaternionleft(const Quaterniond &q) {Eigen::Matrix4d ans;ans(0, 0)             = q.w();ans.block<1, 3>(0, 1) = -q.vec().transpose();ans.block<3, 1>(1, 0) = q.vec();ans.block<3, 3>(1, 1) = q.w() * Eigen::Matrix3d::Identity() + skewSymmetric(q.vec());return ans;
}

$${\mathbf{M}}_Q^{\prime }=\left[\begin{array}{cccc}{q}_0& -q_1& -q_2& -q_3\\ q_1& q_0& q_3& -q_2\\ q_2& -q_3& q_0& q_1\\ q_3& q_2& -q_1& q_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{q}_0& -{\mathbf{q}}_v^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{q}}_v& q_0\mathbf{I}-\left({\mathbf{q}}_v\times \right)\end{array}\right]$$

static Eigen::Matrix4d quaternionright(const Quaterniond &p) {Eigen::Matrix4d ans;ans(0, 0)             = p.w();ans.block<1, 3>(0, 1) = -p.vec().transpose();ans.block<3, 1>(1, 0) = p.vec();ans.block<3, 3>(1, 1) = p.w() * Eigen::Matrix3d::Identity() - skewSymmetric(p.vec());return ans;
}

egin{array}{cc}q_{0} & -\boldsymbol{q}{v}^{\mathrm{T}} \ \boldsymbol{q}{v} & q_{0} \boldsymbol{I}-\left(\boldsymbol{q}_{v} \times\right)\end{array}\right]
$$

static Eigen::Matrix4d quaternionright(const Quaterniond &p) {Eigen::Matrix4d ans;ans(0, 0)             = p.w();ans.block<1, 3>(0, 1) = -p.vec().transpose();ans.block<3, 1>(1, 0) = p.vec();ans.block<3, 3>(1, 1) = p.w() * Eigen::Matrix3d::Identity() - skewSymmetric(p.vec());return ans;
}