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拉普拉斯特征映射（Laplacian Eigenmaps），主要包括拉普拉斯特征映射（Laplacian Eigenmaps）使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项，具有一定的参考价值，需要的朋友可以参考一下。
1 介绍
拉普拉斯特征映射（Laplacian Eigenmaps）是一种不太常见的降维算法，它看问题的角度和常见的降维算法不太相同，是从局部的角度去构建数据之间的关系。也许这样讲有些抽象，具体来讲，拉普拉斯特征映射是一种基于图的降维算法，它希望相互间有关系的点（在图中相连的点）在降维后的空间中尽可能的靠近，从而在降维后仍能保持原有的数据结构。
2 推导
拉普拉斯特征映射通过构建邻接矩阵为 W W W (邻接矩阵定义见这里) 的图来重构数据流形的局部结构特征。其主要思想是，如果两个数据 实例 i i i 和 j j j 很相似，那么 i i i 和 j j j 在 降维后目标子空间中应该尽量接近。设数据实例的数目为 n n n ，目标子空间即最终的降维目标的维度为 m m m 。 定义 $ n \times m$ 大小的矩阵 Y Y Y ，其中每一个行向量 y i T y_{i}^{T} yiT 是数据实例 i i i 在目标 m m m 维子空间中的向量表示（即降维后的数据实例 i i i ）。我们的目的是 让相似的数据样例 i i i 和 j j j 在降维后的目标子空间里仍旧尽量接近，故拉普拉斯特征映射优化的目标函数如下:
min ∑ i , j ∥ y i − y j ∥ 2 W i j \min \sum\limits _{i, j}\left\|y_{i}-y_{j}\right\|^{2} W_{i j} mini,j∑∥yi−yj∥2Wij
下面开始推导：
$ \begin{array}{l} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}{n}&\left|y_{i}-y_{j}\right|{2} W_{i j} \ &=\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}{n}\left(y_{i}{T} y_{i}-2 y_{i}^{T} y_{j}+y_{j}^{T} y_{j}\right) W_{i j} \ &=\sum\limits_{i=1}{n}\left(\sum\limits_{j=1}{n} W_{i j}\right) y_{i}^{T} y_{i}+\sum\limits_{j=1}{n}\left(\sum\limits_{i=1}{n} W_{i j}\right) y_{j}^{T} y_{j}-2 \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} y_{i}^{T} y_{j} W_{i j} \ &=2 \sum\limits_{i=1}^{n} D_{i i} y_{i}^{T} y_{i}-2 \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} y_{i}^{T} y_{j} W_{i j} \ &=2 \sum\limits_{i=1}^{n}\left(\sqrt{D_{i i}} y_{i}\right)^{T}\left(\sqrt{D_{i i}} y_{i}\right)-2 \sum\limits_{i=1}^{n} y_{i}{T}\left(\sum\limits_{j=1}{n} y_{j} W i j\right) \ &=2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} D Y\right)-2 \sum\limits_{i=1}^{n} y_{i}^{T}(Y W)_{i} \ &=2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} D Y\right)-2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} W Y\right) \ &=2 \operatorname{trace}\left[Y^{T}(D-W) Y\right] \ &=2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right) \end{array} $
其中 $W $ 是图的邻接矩阵，对角矩阵 D D D 是图的度矩阵 ( D i i = ∑ j = 1 n W i j ) \left(D_{i i}=\sum\limits_{j=1}^{n} W_{i j}\right) (Dii=j=1∑nWij) ，$ L=D-W$ 成为图的拉普拉斯矩阵。
变换后的拉普拉斯特征映射优化的目标函数如下:
min trace ( Y T L Y ) s.t. Y T D Y = I \begin{array}{l}\min \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right)\\ \text { s.t. } Y^{T} D Y=I \end{array} mintrace(YTLY) s.t. YTDY=I
其中限制条件 s . t . Y T D Y = I s . t . Y^{T} D Y=I s.t.YTDY=I 保证优化问题有解，下面用拉格朗日乘子法对目标函数求解:
f ( Y ) = tr ( Y T L Y ) + tr [ Λ ( Y T D Y − I ) ] f(Y)=\operatorname{tr}\left(Y^{T} L Y\right)+\operatorname{tr}\left[\Lambda\left(Y^{T} D Y-I\right)\right] f(Y)=tr(YTLY)+tr[Λ(YTDY−I)]
∂ f ( Y ) ∂ Y = L Y + L T Y + D T Y Λ T + D Y Λ = 2 L Y + 2 D Y Λ = 0 \begin{array}{l} \frac{\partial f(Y)}{\partial Y}&=L Y+L^{T} Y+D^{T} Y \Lambda^{T}+D Y \Lambda \\ &=2 L Y+2 D Y \Lambda=0 \end{array} ∂Y∂f(Y)=LY+LTY+DTYΛT+DYΛ=2LY+2DYΛ=0
∴ L Y = − D Y Λ \therefore L Y=-D Y \Lambda ∴LY=−DYΛ
其中用到了矩阵的迹的求导，具体方法见 迹求导。 Λ \Lambda Λ 为一个对角矩阵，另外 L L L 、 D D D 均为实对称矩阵，其转置与自身相等。对于单独的 y y y 向量，上式可写为: L y = λ D y L y=\lambda D y Ly=λDy，这是一个广义特征值问题。通过求得 m m m 个最小非零特征值所对应的特征向量，即可达到降维的目 的。
关于这里为什么要选择 m m m 个最小非零特征值所对应的特征向量。将 $L Y=-D Y \Lambda $ 带回到 min trace ( Y T L Y ) \min \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right) mintrace(YTLY) 中，由于有着约束条件 Y T D Y = I Y^{T} D Y=I YTDY=I 的限制，可以得到 $ \min \quad \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right)=\min \quad t r a c e(-\Lambda)$ 。即为特 征值之和。我们为了目标函数最小化，要选择最小的 m m m 个特征值所对应的特征向量。
3 步骤
使用时算法具体步骤为:
步骤1：构建图
使用某一种方法来将所有的点构建成一个图，例如使用KNN算法，将每个点最近的K个点连上边。K是一个预先设定的值。
步骤2：确定权重
确定点与点之间的权重大小，例如选用热核函数来确定，如果点 i 和点 j 相连，那么它们关系的权重设定为：
W i j = e − ∥ x i − x j ∥ 2 t W_{i j}=e^{-\frac{\left\|x_{i}-x_{j}\right\|^{2}}{t}} Wij=e−t∥xi−xj∥2
另外一种可选的简化设定是 W i j = 1 W_{i j}=1 Wij=1 如果点 i i i ，$ j$ 相连，否则 $W_{i j}=0 $ 。
步骤3：特征映射
计算拉普拉斯矩阵 L L L 的特征向量与特征值: $L y=\lambda D y $
使用最小的 m m m 个非零特征值对应的特征向量作为降维后的结果输出。