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news 2025/9/17 6:20:52

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第7集：聚类算法——发现数据中的隐藏模式

在机器学习中，聚类（Clustering） 是一种无监督学习方法，用于发现数据中的隐藏模式或分组。与分类任务不同，聚类不需要标签，而是根据数据的相似性将其划分为不同的簇。今天我们将深入探讨 K-Means 聚类 的原理，并通过实践部分使用 顾客消费行为数据 进行分组。

K-Means 聚类的原理

什么是 K-Means？

K-Means 是一种基于距离的聚类算法，其目标是将数据划分为 K 个簇，使得每个样本点与其所属簇的中心（质心）的距离最小化。算法步骤如下：

随机选择 K 个初始质心。
将每个样本分配到最近的质心所在的簇。
更新质心为当前簇内所有样本的均值。
重复步骤 2 和 3，直到质心不再变化或达到最大迭代次数。

图1：K-Means 聚类过程
（图片描述：二维平面上展示了 K-Means 算法的迭代过程，初始随机质心逐渐调整位置，最终收敛到稳定状态。）

如何选择最佳的 K 值（肘部法则）

选择合适的 K 值是 K-Means 聚类的关键问题之一。常用的 肘部法则（Elbow Method） 通过绘制簇内误差平方和（SSE, Sum of Squared Errors）随 K$ 值的变化曲线来确定最佳 K 值。当 SSE 下降速度明显减缓时，对应的 K 值即为最佳值。

公式如下：
$\text{SSE} = \sum_{i=1}^{K} \sum_{x \in C_i} ||x - \mu_i||^2$
其中：
$C_i 是第 i 个簇。$
$\mu_i 是第 i 个簇的质心。$

图2：肘部法则示意图
（图片描述：折线图展示了 SSE 随 K 值的变化，随着 K 增加，SSE 逐渐减小，但在某个 K 值后下降趋于平缓，形成“肘部”。图中 K = 3 时形成“肘部”。）

层次聚类与 DBSCAN 简介

1. 层次聚类

层次聚类是一种基于树形结构的聚类方法，分为两种类型：

凝聚式（Agglomerative）：从单个样本开始，逐步合并最相似的簇。
分裂式（Divisive）：从整个数据集开始，逐步分裂成更小的簇。

优点：无需指定 K 值；缺点：计算复杂度较高。

2. DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）

DBSCAN 是一种基于密度的聚类算法，能够发现任意形状的簇，并对噪声点具有鲁棒性。其核心思想是：

核心点：在某半径范围内有足够多的邻居点。
边界点：在核心点的邻域内，但自身不是核心点。
噪声点：既不是核心点也不是边界点。

优点：无需指定 K 值；缺点：对参数敏感。

聚类结果的可视化

聚类结果通常通过散点图进行可视化，不同簇用不同颜色表示。对于高维数据，可以使用降维技术（如 PCA 或 t-SNE）将其投影到二维或三维空间。

实践部分：使用 K-Means 对顾客消费行为数据进行分组

数据集简介

我们使用一个模拟的顾客消费行为数据集，包含以下特征：

Annual Income：年收入（单位：千美元）。
Spending Score：消费评分（范围 1-100，越高表示消费能力越强）。

目标是对顾客进行分组，以便制定个性化的营销策略。

完整代码

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.preprocessing import StandardScaler# 加载数据
url = "https://raw.githubusercontent.com/DennisKimt/datasets/main/Mall_Customers.csv"
data = pd.read_csv(url)# 提取特征
X = data[['Annual Income (k$)', 'Spending Score (1-100)']]# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)# 使用肘部法则选择最佳 K 值
sse = []
K_range = range(1, 11)
for k in K_range:kmeans = KMeans(n_clusters=k, random_state=42)kmeans.fit(X_scaled)sse.append(kmeans.inertia_)# 绘制肘部法则图
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(K_range, sse, marker='o')
plt.title('Elbow Method for Optimal K', fontsize=16)
plt.xlabel('Number of Clusters (K)', fontsize=12)
plt.ylabel('Sum of Squared Errors (SSE)', fontsize=12)
plt.grid()
plt.show()# 选择 K=5 构建 K-Means 模型
kmeans = KMeans(n_clusters=5, random_state=42)
clusters = kmeans.fit_predict(X_scaled)# 可视化聚类结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(X.iloc[:, 0], X.iloc[:, 1], c=clusters, cmap='viridis', s=100, edgecolor='k')
plt.scatter(kmeans.cluster_centers_[:, 0], kmeans.cluster_centers_[:, 1], s=300, c='red', label='Centroids', marker='X')
plt.title('Customer Segmentation using K-Means', fontsize=16)
plt.xlabel('Annual Income (k$)', fontsize=12)
plt.ylabel('Spending Score (1-100)', fontsize=12)
plt.legend()
plt.show()