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上一篇中讨论了一般性的原则，这里我们具体讨论通过时间反向传播（backpropagation through time，BPTT）的细节。我们将展示目标函数对于所有模型参数的梯度计算方法。

出于简单的目的，我们以一个没有偏置参数的循环神经网络为例说明，其在隐藏层中的激活函数使用恒等函数（）。

对于时间步，单个样本的输入及其标签分别为和。计算隐状态和输出的公式为

其中，权重参数为，和。

目标函数为：

。

通常，训练这个模型需要对这些参数分别进行梯度计算：、和。

其中：

从中可以看到，这个简单的线性例子已经展现出长序列模型的一些关键问题：

它陷入到了的潜在的非常大的指数幂。在这个指数幂中，小于1的特征值将会消失（出现梯度消失），大于1的特征值将会发散（出现梯度爆炸）。