常用模拟低通滤波器的设计——契比雪夫II型滤波器

切比雪夫 II 型滤波器的振幅平方函数为：

       式中，为有效带通截止频率， 是与通带波纹有关的参量， 大，波纹大，；

 为 N 阶契比雪夫多项式。

在 Matlab 中，函数cheb2ap、cheb2ord、cheby 用于设计切比雪夫 II 型滤波器。

1、cheb2ap 函数

在 Matlab 中，函数 cheb2ap 用于设计切比雪夫 II 型低通滤波器，其调用格式为：

•   [z, p, k] = cheb2ap(n, Rs)      % 返回契比雪夫 II 型滤波器的零点z、极点p 和增益 k   

说明：输入 n 为滤波器的阶数，Rs 为通带的波动，即滤波器在通带内的最小衰减值。

2、cheb2ord 函数

在 Matlab 中，利用 cheb2ord 函数可以求出所需要的滤波器的阶数和截止频率，滤波器在通带中的损耗不超过 Rp dB，在阻带中的衰减至少为 Rs dB。其调用格式为：

•   [n, Wn] = cheb2ord(Wp, Ws, Rp, Rs)      % 返回值 n 为滤波器的最低阶数，Wn 为截止频率   
•   [n, Wn] = cheb2ord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's')    % 设计模拟契比雪夫 I 型滤波器的最低阶数n 和截止频率Wn    

说明：滤波器通带中的损耗不得超过Rp dB，在阻带中至少为Rs dB。

Wp为通带截止频率、Ws为阻带起始频率、Rp为通带内波动、Rs为阻带内最小衰减。

3、cheby2函数

由切比雪夫 II 型滤波器的阶数 n 以及通带截止频率 Wn 可以计算出对应传递函数 H(z)的分子分母系数。

Matlab 提供 cheby2 函数用于求解契比雪夫 II 型滤波器的系数，函数调用格式为：

•   [b, a] = cheby2(n, Rs, Ws)      % 返回值契比雪夫 I 型低通滤波器传递函数的系数   

说明：b 为 H(z)的分子多项式系数，a 为 H(z)的分母多项式系数，Ws 为标准化通带边缘频率，Rs 为峰间通带波纹。

•   [b, a] = cheby2(n, Rs, Ws, ftype)      % 根据 ftype 的值和 Ws 的元素数，设计低通、高通、带通或带阻契比雪夫 II 型滤波器，其中带通和带阻设计为 2n 级。
•   [z, p, k] = cheby2(____)    % 设计数字切比雪夫 II 型滤波器，并返回其零点、极点和增益   
•   [A, B, C, D] = cheby2(____)    % 设计数字切比雪夫 II 型滤波器，并返回指定其空间状态表示形式的矩阵  
•   [ ____ ] = cheby2(____, 's')    % 设计通带边缘角频率为Ws、通带波纹为Rs 的模拟切比雪夫 II 型滤波器   

说明：滤波器的传递函数系数 b 和 a，零点z、极点p 、增益 k 、ftype的含义与 cheby1 函数中的相同 。

ftype 包括：'low'、'high'、'bandpass' 及 'stop'，含义如下：

• 'low'：指定通带边缘频率为 Wp 的低通滤波器，为默认值。
• 'high'：指定通带边缘频率为 Wp 的高通滤波器。
• 'bandpass' ：指定 2n 阶的带通滤波器，如果 Wp 为两个元素向量，则默认为 'bandpass' 。
• 'stop'：如果 Wp 为两个元素向量，指定 2n 阶的带阻滤波器。

4、实例演示

【例7-24】设计一个6阶切比雪夫 II 型低通滤波器，阻带波动为70dB，并显示其幅值和相位响应。

% 【例7-24】设计一个6阶切比雪夫 II 型低通滤波器，阻带波动为70dB，并显示其幅值和相位响应。
clc, clear, close all
[z, p, k] = cheb2ap(6, 70); % 低通滤波器原型
[num, den] = zp2tf(z, p, k); % 零极增益模型转换为传递函数形式
freqs(num, den); % 模拟滤波器的频率响应
title('切比雪夫 II 型低通滤波器幅频响应曲线');  grid on;

【例7-25】针对 1000Hz 采样的数据，设计一个低通滤波器，在0~40Hz 的通带中纹波小于3dB，在150Hz到奈奎斯特频率的阻带中衰减至少为60dB，并显示其幅值和相位响应。

% 【例7-25】针对 1000Hz 采样的数据，设计一个低通滤波器，在0~40Hz 的通带中纹波小于3dB，
% 在150Hz到奈奎斯特频率的阻带中衰减至少为60dB，并显示其幅值和相位响应。
figure
Wp = 40/(1000/2);
Ws = 150/(1000/2);
Rp = 3;
Rs = 60;
[n, Ws] = cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs);  % 切比雪夫 II 型低通滤波器最低阶数 n 及相应的截止频率Ws.
[b,a] = cheby2(n,Rs,Ws); % 切比雪夫 II 型低通滤波器传递函数系数
freqz(b,a,512,1000); % 数字滤波器的频率响应
title('切比雪夫 II 型低通滤波器幅频响应曲线');  grid on;

【例7-26】设计一个切比雪夫 II 型低通滤波器示例。

% 【例7-26】设计一个切比雪夫 II 型低通滤波器示例。
figure
Wp = 3*pi*4*12^3;
Ws = 3*pi*12*10^3;
rp = 1;
rs = 30; % 设计滤波器参数
wp = 1; ws = Ws/Wp; % 对参数归一化
[N, wc] = cheb2ord(wp, ws, rp, rs, 's'); % 计算滤波器阶数和阻带起始频率
[z, p, k] = cheb2ap(N, rs); % 计算零点、极点、增益
[b, a] = zp2tf(z, p, k); % 计算系统函数系数多项式
w = 0:0.02*pi:pi;
[h,w] = freqs(b,a,w); % 模拟滤波器的频率响应
plot(w*wc/wp, 20*log10(abs(h)),'k');
xlabel('\lambda'); ylabel('A(\lambda)/dB');
title('切比雪夫 II 型低通滤波器幅频响应曲线');  grid on;