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【蓝桥杯】付账问题

[蓝桥杯 2018 省 A] 付账问题

题目描述

几个人一起出去吃饭是常有的事。但在结帐的时候，常常会出现一些争执。

现在有 $n$ 个人出去吃饭，他们总共消费了 $S$ 元。其中第 $i$ 个人带了 $a_i$ 元。幸运的是，所有人带的钱的总数是足够付账的，但现在问题来了：每个人分别要出多少钱呢？

为了公平起见，我们希望在总付钱量恰好为 $S$ 的前提下，最后每个人付的钱的标准差最小。这里我们约定，每个人支付的钱数可以是任意非负实数，即可以不是 $1$ 分钱的整数倍。你需要输出最小的标准差是多少。

标准差的介绍：标准差是多个数与它们平均数差值的平方平均数，一般用于刻画这些数之间的“偏差有多大”。形式化地说，设第 $i$ 个人付的钱为 $b_i$ 元，那么标准差为 $s=\sqrt{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(b_i-\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{b}_i)}$

输入格式

第一行包含两个整数 $n$、$S$；

第二行包含 $n$ 个非负整数 $a_1,\cdots ,a_n$。

输出格式

输出到标准输出。

输出最小的标准差，四舍五入保留 $4$ 位小数。

保证正确答案在加上或减去 $10^{-9}$ 后不会导致四舍五入的结果发生变化。

样例 #1

样例输入 #1

5 2333
666 666 666 666 666

样例输出 #1

0.0000

样例 #2

样例输入 #2

10 30
2 1 4 7 4 8 3 6 4 7

样例输出 #2

0.7928

提示

【样例解释】

1. 每个人都出 2333/5 元，标准差为 0。

【数据约定】

对于 $10\%$ 的数据，所有 $a_i$ 相等；

对于 $30\%$ 的数据，所有非 $0$ 的 $a_i$ 相等；

对于 $60\%$ 的数据，$n\le 1000$；

对于 $80\%$ 的数据，$n\le 10^5$；

对于所有数据，$n\le 5\times 10^5,0\le a_i\le 10^9$。

标签:贪心

思路:

标准差，即数据的分散程度，分散度高标准差大，反之则越小。

我们使标准差小，则尽可能让数据集中在平均数附近

$ a_i<avg（平均数)$,则$b_i=a_i$ $avg-a_i$为不够的钱，由钱多的均摊

有5个人带的钱为$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$,avg为每个人付款的平均数，总付款sum

$a1$小于$avg$，因此他只能付$a1$,多的钱$avg-a1$由$a_2到a_5$来均摊，

即付款c$=sum-a1/(n-1)$,如果$c>a2$,同样$a2$拿出所有的钱，剩下的由后面的均摊，以此类推

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 
const int N=5e5+5;
long double money[N];
signed main()
{int n; long double s=0.0;//注意这里，虽然将int定义为long long但输入的是long long 类型时，输入格式一定还是%lld,否则会出错scanf("%lld %Lf",&n,&s);//long double输入输出格式为%Lflong double ave=s/n;//平均数for(int i=0;i<n;i++)scanf("%Lf",&money[i]);sort(money,money+n);long double sum=0,t=0;for(int i=0;i<n;i++)//想让我们的标准差小，每个数尽量集中在平均数附近，先排序，遍历一遍这些数//如果这个数小于平均数，就要拿出全部的值，不够的钱a由钱多于平均数的人去均摊，使后面的人的付钱平均数提高//可能出现因为平均数提高后面的人也拿不出来这么多钱，那我们就让他拿出全部钱，剩下的钱仍由更后面的人去分摊{t=min(s/(n-i),money[i]);//注意min里的参数中数据类型要一致，即int对应int，long double和long double对应sum+=(t-ave)*(t-ave);s-=t;}printf("%.4Lf",sqrt(sum/n));return 0;
}