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要推导反向传播算法，并了解每一层的参数梯度如何计算，以及每一层的梯度受到哪些值的影响，我们使用一个简单的神经网络结构：

• 输入层有2个节点
• 一个有2个节点的隐藏层，激活函数是ReLU
• 一个输出节点，激活函数是线性激活（即没有激活函数）

假设权重矩阵和偏置如下：

• 输入层到隐藏层的权重矩阵$W_1$是$2\times 2$
• 隐藏层的偏置向量$b_1$是$2\times 1$
• 隐藏层到输出层的权重矩阵$W_2$是$2\times 1$
• 输出层的偏置向量$b_2$是一个标量

输入为$x=[x_1,x_2]$，期望输出为$y$，损失函数为均方误差（MSE）。

前向传播：

1. 计算隐藏层的输入：
   $z_1=W_1\cdot x+b_1$
2. 计算隐藏层的激活：
   $a_1=\text{ReLU}(z_1)$
3. 计算输出层的输入：
   $z_2=W_2^T\cdot a_1+b_2$
4. 输出值：
   $\hat{y}=z_2$
5. 计算损失：
   $L=\frac{1}{2}(\hat{y}-y{)}^2$

反向传播：

1. 计算输出层的梯度：

   • 损失函数对输出层输入的梯度：
     $\frac{\partial L}{\partial z_2}=\hat{y}-y$

2. 计算从输出层到隐藏层的梯度：

   • 隐藏层激活对权重的梯度：
     $\frac{\partial L}{\partial W_2}=\frac{\partial L}{\partial z_2}\cdot a_1$
   • 隐藏层激活对偏置的梯度：
     $\frac{\partial L}{\partial b_2}=\frac{\partial L}{\partial z_2}$

3. 计算隐藏层的梯度：

   • 损失函数对隐藏层激活的梯度：
     $\frac{\partial L}{\partial a_1}=W_2\cdot \frac{\partial L}{\partial z_2}$
   • 隐藏层对隐藏层输入的梯度（ReLU的梯度）：
     $\frac{\partial L}{\partial z_1}=\frac{\partial L}{\partial a_1}\cdot {\text{ReLU}}^{\prime }(z_1)$
     • ReLU梯度${\text{ReLU}}^{\prime }(z_1)$在$z_1>0$时为1，否则为0

4. 计算从输入层到隐藏层的梯度：

   • 输入对权重的梯度：
     $\frac{\partial L}{\partial W_1}=\frac{\partial L}{\partial z_1}\cdot x^T$
   • 输入对偏置的梯度：
     $\frac{\partial L}{\partial b_1}=\frac{\partial L}{\partial z_1}$

详细推导实例：

假设：

• $x=[1,2]$
• $y=3$
• $W_1=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0.2\\ 0.3& 0.7\end{array}\right]$
• $b_1=\left[\begin{array}{c}0.1\\ 0.2\end{array}\right]$
• $W_2=\left[\begin{array}{c}0.6\\ 0.9\end{array}\right]$
• $b_2=0.3$

前向传播：
1.
$z_1=W_1\cdot x+b_1=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0.2\\ 0.3& 0.7\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0.1\\ 0.2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1.0\\ 1.9\end{array}\right]$
2.
$a_1=\text{ReLU}(z_1)=\text{ReLU}(\left[\begin{array}{c}1.0\\ 1.9\end{array}\right])=\left[\begin{array}{c}1.0\\ 1.9\end{array}\right]$
3.
$z_2=W_2^T\cdot a_1+b_2={\left[\begin{array}{c}0.6\\ 0.9\end{array}\right]}^T\cdot \left[\begin{array}{c}1.0\\ 1.9\end{array}\right]+0.3=2.46$
4.
$\hat{y}=z_2=2.46$
5.
$L=\frac{1}{2}(2.46-3{)}^2=0.1458$

反向传播：
1.
$\frac{\partial L}{\partial z_2}=2.46-3=-0.54$

2. $\frac{\partial L}{\partial W_2}=\left[\begin{array}{c}-0.54\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1.0\\ 1.9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-0.54\cdot 1.0\\ -0.54\cdot 1.9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-0.54\\ -1.026\end{array}\right]$
   $\frac{\partial L}{\partial b_2}=-0.54$

3. $\frac{\partial L}{\partial a_1}=\left[\begin{array}{c}0.6\\ 0.9\end{array}\right]\cdot -0.54=\left[\begin{array}{c}-0.324\\ -0.486\end{array}\right]$
   $\frac{\partial L}{\partial z_1}=\frac{\partial L}{\partial a_1}\cdot {\text{ReLU}}^{\prime }(z_1)=\left[\begin{array}{c}-0.324\\ -0.486\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-0.324\\ -0.486\end{array}\right]$

4. $\frac{\partial L}{\partial W_1}=\frac{\partial L}{\partial z_1}\cdot x^T=\left[\begin{array}{c}-0.324\\ -0.486\end{array}\right]\cdot {\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{cc}-0.324& -0.648\\ -0.486& -0.972\end{array}\right]$
   $\frac{\partial L}{\partial b_1}=\left[\begin{array}{c}-0.324\\ -0.486\end{array}\right]$

从上述示例可以看到，每层的梯度依赖于上一层的激活值和当前层的损失梯度。梯度的传递通过链式法则一步步向前传播，从最初的损失函数计算开始，直到最终的输入层的权重和偏置。