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马哈拉诺比斯距离（Mahalanobis Distance）是一种衡量点与分布之间距离的度量，尤其适用于多维数据。与欧几里得距离不同，马哈拉诺比斯距离考虑了数据的协方差结构，因此在统计分析和异常值检测中非常有用。
定义
给定一个数据点 x \mathbf{x} x 和均值 μ \mathbf{\mu} μ，以及数据的协方差矩阵 S \mathbf{S} S，马哈拉诺比斯距离定义为：
D M ( x , μ ) = ( x − μ ) T S − 1 ( x − μ ) D_M(\mathbf{x}, \mathbf{\mu}) = \sqrt{(\mathbf{x} - \mathbf{\mu})^T \mathbf{S}^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{\mu})} DM(x,μ)=(x−μ)TS−1(x−μ)
特点
- 尺度不变性：马哈拉诺比斯距离对不同特征的尺度不敏感，适合高维数据。
- 考虑协方差：通过使用协方差矩阵，可以捕捉到特征之间的相关性。
- 适用于多维数据：在多维空间中，马哈拉诺比斯距离可以有效区分正常数据和异常值。
应用
- 异常值检测：可以用于识别远离均值的点，判断其是否为异常值。
- 聚类分析：在聚类算法中使用马哈拉诺比斯距离能够提高聚类结果的准确性。
- 分类问题：在某些分类算法中，使用马哈拉诺比斯距离可以改进分类性能。
马哈拉诺比斯距离是一种强大的距离度量，特别是在处理具有相关特征的数据时。