肘部法则是经常使用的法则。很多时候，可以凭人工经验去找最优拐点，但有时需要自动寻找拐点。最近解决了一下这个问题，希望对各位有用。

一. 术语解释

**肘形曲线(elbow curve)**类似人胳膊状的曲线，拐点在肘部。**膝形曲线（knee curve）人腿形的曲线，拐点在膝盖。这类曲线和二八原则（即帕托累法则）**不谋而合，做决策时，自然选择肘点或膝点做参考。按照拐点在左还是右侧来分，细分为：左膝点曲线，右膝点曲线，左肘点曲线，右肘点曲线。
曲线示意图如下：


左膝点曲线膝点在左边的曲线（术语是我自己起的，明白意思就好，膝点在左边）如下：

从形状上，四种曲线没有大的区别，可以相互转化：

1. 肘曲线与膝曲线相互转化，用曲线最大值减去曲线各点值即可。
2. 同类型曲线，左右拐点转化，就是切换升序降序排序即可。
   它们都可以计算拐点，其中以左膝点曲线(见下图)计算拐点最简单，所以以其为标准曲线。

二. 拐点检测

左膝点曲线，原理是其二次曲线导数最大点，如下：
对于离散序列来说，当x轴差为1时，二次曲线计算公式为：
$$f^{\prime \prime }(x_i)=f(x_{i-1})+f(x_{i+1})-2\ast f(x_i)$$

推荐一个简单的包：kneed Github地址
支持:Python 3.7, 3.8, 3.9, and 3.10. 安装如下：

$ conda install -c conda-forge kneed
# 或者
$ pip install kneed # To install only knee-detection algorithm
$ pip install kneed[plot] # To also install plotting functions for quick 

使用如下：

from kneed import DataGenerator, KneeLocatorx, y = DataGenerator.figure2()print([round(i, 3) for i in x])
print([round(i, 3) for i in y])# out: [0.0, 0.111, 0.222, 0.333, 0.444, 0.556, 0.667, 0.778, 0.889, 1.0]
# out: [-5.0, 0.263, 1.897, 2.692, 3.163, 3.475, 3.696, 3.861, 3.989, 4.091]kneedle = KneeLocator(x, y, S=1.0, curve="concave", direction="increasing")print(round(kneedle.knee, 3))
# out: 0.222print(round(kneedle.elbow, 3))
# out: 0.222