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news 2025/9/17 23:35:14

江门网站推广技巧方法,整套网站模板,网站新闻前置审批,网页开发工具怎么调出来目录一、区域Ω的剖分二、三角形一次元三、一次元的基函数与面积坐标四、三角形二次元及其基函数前两节我们介绍了有限元基本概念和变分理论的推导，本节我们继续探讨有限元空间的构造。一、区域Ω的剖分对矩形区域进行三角剖分，其中x方向剖…

一、区域Ω的剖分

二、三角形一次元

三、一次元的基函数与面积坐标

四、三角形二次元及其基函数

前两节我们介绍了有限元基本概念和变分理论的推导，本节我们继续探讨有限元空间的构造。

一、区域Ω的剖分

对矩形区域 $\Omega =[x_{a},x_{b}]\times [y_{c},y_{d}]$ 进行三角剖分，其中x方向剖分m份，y方向剖分n份，共得到 $(m+1)(n+1)$ 个节点及 $2mn$ 个三角形单元。图1是 $m=5,n=4$ 的剖分情况，节点编号用数字表示，单元用带圈的数字表示。为了实现后面的程序编写，必须明确单元上的局部编号与整体编号，如图2所示。通过设置剖分数，可以建立单元上整体编号与局部编号之间的关系，可设置二维数组 $lnd[\;][\;]$ ，第一个参数为单元编号，第二个参数为局部节点编号，如 $lnd[3][0]=8$ 等，表示第3个单元第0号局部节点的整体节点编号为8，而 $lnd[2][1]=2$ 则表示第2个单元第1号局部节点的整体节点编号为2。可以通过循环设置所有的节点。

二、三角形一次元

前面两节提到，可以选取 $V_{h}\subset V=H^{1}_{0}(\Omega)$ 为分片连续的一次多项式函数空间，也就是在每个单元e上， $V_{h}$ 中的函数都是一次多项式，且要保证整体连续。因此对于相邻的两个三角形单元，它们有一条公共边，只要保证分片一次多项式在这条公共边的两个端点（也是剖分节点）处函数值相同即可保证函数整体连续。这样，分片一次多项式在每个单元上的表达式就可以由它在3个顶点处的值唯一确定。下面，在节点 $P_{i},P_{j},P_{k}$ （对应整体编号为i，j，k）的单元e上考虑数值解 $u_{h}$ 的表达式，尝试用基函数来表示 $u_{h}(x,y)|_{e}=u_{i}\lambda _{0}(x,y)+u_{j}\lambda _{1}(x,y)+u_{k}\lambda _{2}(x,y)$ ，其中 $\lambda_{0},\lambda_{1},\lambda_{2}$ 为待定基函数，满足以下性质：

$\lambda_{0}(P_{i})=1,\lambda_{0}(P_{j})=0,\lambda_{0}(P_{k})=0 \;\;\;\;\; (1)$

$\lambda_{1}(P_{i})=0,\lambda_{1}(P_{j})=1,\lambda_{1}(P_{k})=0 \;\;\;\;\; (2)$

$\lambda_{2}(P_{i})=0,\lambda_{2}(P_{j})=0,\lambda_{2}(P_{k})=1 \;\;\;\;\; (3)$

且它们都是一次函数。这样，数值解 $u_{h}$ 在单元e上的表达式完全由它在3个顶点处 $P_{i},P_{j},P_{k}$ 处的值 $u_{i},u_{j},u_{k}$ 决定， $u_{i},u_{j},u_{k}$ 可以看作精确解u在整体编号i，j，k的节点处的近似。一旦把所有 $u_{i},i=0,1,\cdots,(m+1)(n+1)-1$ 求出来（边界点除外，因为 $u_{h}\in V_{h}$ 从而边界节点处 $u_{h}$ 的值为零），则数值解 $u_{h}$ 的表达式也就确定了。所以现在的基本问题是对离散问题式

求 $u_{h}(x,y)\in V_{h}$ ，使得 $a(u_{h},v_{h})=(f,v_{h})\;\;\;\;\forall v_{h}(x,y)\in V_{h}$

建立 $u_{i},i=0,1,\cdots,(m+1)(n+1)-1$ 的关系式。

三、一次元的基函数与面积坐标

由于基函数在单元e上是一次多项式，尝试设 $\lambda_{0}(x,y)|_{e}=ax+by+c$ ，其中a，b，c为待定系数，且单元e上s号节点 $P_{s}$ 的坐标为 $(x_{s},y_{s}),s=i,j,k$ ，则由条件公式（1）可知：

$\left\{\begin{matrix} ax_{i}+by_{i}+c=1,\\ ax_{j}+by_{j}+c=0,\\ ax_{k}+by_{k}+c=0, \end{matrix}\right.\;\;is$ $\begin{pmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} & y_{k} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

从而解出

$a=\frac{\begin{vmatrix} 1 & y_{i} & 1\\ 0 & y_{j} & 1\\ 0 & y_{k} & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} & y_{k} & 1 \end{vmatrix}}=\frac{y_{j}-y_{k}}{\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} & y_{k} & 1 \end{vmatrix}}$ $b=\frac{\begin{vmatrix} x_{i} & 1 & 1\\ x_{j} & 0 & 1\\ x_{k} & 0 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} & y_{k} & 1 \end{vmatrix}}=\frac{x_{k}-x_{j}}{\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} & y_{k} & 1 \end{vmatrix}}$

$c=\frac{\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 0\\ x_{k} & y_{k} & 0 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} & y_{k} & 1 \end{vmatrix}}=\frac{x_{j}y_{k}-x_{k}y_{j}}{\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} & y_{k} & 1 \end{vmatrix}}$

代入可得

$\lambda_{0}(x,y)|_{e}=\frac{x(y_{j}-y_{k})+y(x_{k}-x_{j})+(x_{j}y_{k}-x_{k}y_{j})}{\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} & y_{k} & 1 \end{vmatrix}}=\frac{\begin{vmatrix} x & y & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} & y_{k} & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} &y_{k} &1 \end{vmatrix}}$

可以证明以 $P_{i},P_{j},P_{k}$ （逆时针排列）为顶点的三角形单元e的面积 $S_{e}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} & y_{k} & 1 \end{vmatrix}$ 。

于是，若 $\Delta P_{i}P_{j}P_{k}$ 内有一点P的坐标为 $(x,y)$ ，如图3所示，则

$\lambda_{0}(x,y)|_{e}=\frac{\begin{vmatrix} x & y & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} & y_{k} & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} &y_{k} &1 \end{vmatrix}}=\frac{2S_{\Delta PP_{j}P_{k}}}{2S_{\Delta P_{i}P_{j}P_{k}}}=\frac{S_{\Delta PP_{j}P_{k}}}{S_{e}}\;\;\;(4)$

同理，

$\lambda_{1}(x,y)|_{e}=\frac{\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x & y & 1\\ x_{k} & y_{k} & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} &y_{k} &1 \end{vmatrix}}=\frac{S_{\Delta P_{i}PP_{k}}}{S_{e}},\lambda_{2}(x,y)|_{e}=\frac{\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x & y & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} & 1\\ x_{j} & y_{j} & 1\\ x_{k} &y_{k} &1 \end{vmatrix}}=\frac{S_{\Delta P_{i}P_{j}P}}{S_{e}}\;\;\;(5)$

注意到 $S_{e}=S_{\Delta P_{i}P_{j}P_{k}}=S_{\Delta PP_{j}P_{k}}+S_{\Delta P_{i}PP_{k}}+S_{\Delta P_{i}P_{j}P}$ ，显然有

$\lambda_{0}+\lambda_{1}+\lambda_{2}=1\;\;\;\;(6)$

也就是说 $\lambda_{0},\lambda_{1},\lambda_{2}$ 不是相互独立的。换言之， $\Delta P_{i}P_{j}P_{k}$ 内任一点 $P(x,y)$ ，必然可以唯一对应一组坐标 $(\lambda_{0},\lambda_{1})$ ，基函数 $\lambda_{0},\lambda_{1},\lambda_{2}$ 被称为重心坐标。由于它们又都是三角形的面积比，所以它们也称为面积坐标。面积坐标在有限元分析中非常重要，它是从一般单元变化到标准单元的工具，也是进行Sobolev空间范数估计的有效手段。事实上，公式（4）、（5）可以反解出直角坐标 $(x,y)$ 与重心坐标之间的对应关系式：

$\left\{\begin{matrix} x=x_{i}\lambda_{0}+x_{j}\lambda_{1}+x_{k}\lambda_{2}\\ y=y_{i}\lambda_{0}+y_{j}\lambda_{1}+y_{k}\lambda_{2} \end{matrix}\right.\;\;\;\; or\;\;\;\left\{\begin{matrix} x=(x_{i}-x_{k})\lambda_{0}+(x_{j}-x_{k})\lambda_{1}+x_{k}\\ y=(y_{i}-y_{k})\lambda_{0}+(y_{j}-y_{k})\lambda_{1}+y_{k} \end{matrix}\right.\;\;\;(7)$

从而可以实现将一般的三角形单元 $\Delta P_{i}P_{j}P_{k}$ 变换成标准单元 $\widehat{e}$ ，如图4所示。

四、三角形二次元及其基函数

我们除了可以选取 $V_{h}$ 为分片连续的一次多项式函数空间外，也可以选取 $V_{h}$ 为分片连续的二次多项式函数空间，也就是在每个单元e上， $V_{h}$ 中的函数都是二次多项式，且要保证整体连续。因此在每个单元e上， $V_{h}$ 中的分片二次多项式函数 $v(x,y)$ 就形如 $v|_{e}=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F$ ，其中 $A,B,C,D,E,F$ 均为待定常数，从而需要有6个条件来唯一确定这个表达式。与一次元相似，要确定这6个常数，我们可以取三角形单元e的3个顶点及3条边的中点值作为条件（这些条件称为自由度），即分片二次多项式在每个单元上的表达式就可以由它在这个单元3个顶点和3条边的中点处的值唯一确定，这样也可以保证函数的整体连续性。事实上，在相邻的两个三角形单元上的公共边上，位置变量x和y有一个直线方程的线性约束，从而 $v(x,y)$ 在这条边上成为一个只关于自变量x的二次函数，这个函数在3个不同的点（两个顶点和一个中点）上取值相同，说明 $v(x,y)$ 在公共边上的表达式所示唯一确定的，也就是说，这个分片二次多项式在相邻两个单元上虽然整体表达式不相同，但在其公共边上表达式相同，这就保证了函数在 $\Omega$ 上整体连续，从而实现 $V_{h}\subset V=H^{1}_{0}(\Omega)$ 。

对于以上的三角形二次元，由于涉及到三角形单元的中点，所以尽管三角形剖分情况不变，即共有2mn个三角形单元，但整体节点数变为 $(2m+1)(2n+1)$ 个，且节点的编号将随之发生改变。例如，图1将变为图5。

接下来，在单元e上考虑数值解 $u_{h}\in V_{h}$ 的表达式，其中e的3个顶点为 $P_{i},P_{j},P_{k}$ （对应整体编号为i，j，k），3条边的中点为 $P_{jk},P_{ki},P_{ij}$ （对应整体编号为 $\frac{j+k}{2},\frac{k+i}{2},\frac{i+j}{2}$ ），如图6。

$u_{h}$ 在单元e上的表达式尝试用基函数表示为

$u_{h}(x,y)|_{e}=u_{i}\varphi_{0}(x,y)+u_{j}\varphi_{1}(x,y)+u_{k}\varphi_{2}(x,y)+u_{jk}\Psi_{0}(x,y)+u_{ki}\Psi_{1}(x,y)+u_{ij}\Psi_{2}(x,y)$

其中 $\varphi_{0},\varphi_{1},\varphi_{2},\Psi_{0},\Psi_{1},\Psi_{2}$ 为待定基函数，满足以下性质：

$\varphi_{0}(P_{i})=1,\varphi_{0}(P_{j})=0,\varphi_{0}(P_{k})=0,\varphi_{0}(P_{jk})=0,\varphi_{0}(P_{ki})=0,\varphi_{0}(P_{ij})=0,$

$\varphi_{1}(P_{i})=0,\varphi_{1}(P_{j})=1,\varphi_{1}(P_{k})=0,\varphi_{1}(P_{jk})=0,\varphi_{1}(P_{ki})=0,\varphi_{1}(P_{ij})=0,$

$\varphi_{2}(P_{i})=0,\varphi_{2}(P_{j})=0,\varphi_{2}(P_{k})=1,\varphi_{2}(P_{jk})=0,\varphi_{2}(P_{ki})=0,\varphi_{2}(P_{ij})=0,$

$\Psi_{0}(P_{i})=0,\Psi_{0}(P_{j})=0,\Psi_{0}(P_{k})=0,\Psi_{0}(P_{jk})=1,\Psi_{0}(P_{ki})=0,\Psi_{0}(P_{ij})=0,$

$\Psi_{1}(P_{i})=0,\Psi_{1}(P_{j})=0,\Psi_{1}(P_{k})=0,\Psi_{1}(P_{jk})=1,\Psi_{1}(P_{ki})=1,\Psi_{1}(P_{ij})=0,$

$\Psi_{2}(P_{i})=0,\Psi_{2}(P_{j})=0,\Psi_{2}(P_{k})=0,\Psi_{2}(P_{jk})=1,\Psi_{2}(P_{ki})=0,\Psi_{2}(P_{ij})=1.$

利用重心坐标，很容易将上述基函数表示出来，即有分别对应于三角形单元3个顶点 $P_{i},P_{j},P_{k}$ 的基函数：

$\varphi_{0}(x,y)=\lambda_{0}(2\lambda_{0}-1),\varphi_{1}(x,y)=\lambda_{1}(2\lambda_{1}-1),\varphi_{2}(x,y)=\lambda_{2}(2\lambda_{2}-1)$

及对应于三角形3条边中点 $P_{jk},P_{ki},P_{ij}$ 的基函数：

$\Psi_{0}=4\lambda_{1}\lambda_{2},\Psi_{1}=4\lambda_{2}\lambda_{0},\Psi_{2}=4\lambda_{0}\lambda_{1}$

至此，数值解 $u_{h}$ 在单元e上的表达式就确定为：

$u_{h}(x,y)|_{e}=u_{i}\lambda_{0}(2\lambda_{0}-1)+u_{j}\lambda_{1}(2\lambda_{1}-1)+u_{k}\lambda_{2}(2\lambda_{2}-1)+4u_{jk}\lambda_{1}\lambda_{2}+4u_{ki}\lambda_{2}\lambda_{0}+4u_{ij}\lambda_{0}\lambda_{1}$

综上，有限元空间 $X_{h}$ 由一个三元组 $(e,V_{h},\sum)$ 确定。具体的，设 $\tau_{h}$ 是区域Ω的一个剖分，e是剖分 $\tau_{h}$ 中的单元，参数h定义为所有单元的最大直径，即 $h=\underset{e\in\tau_{h}}{max}(diam(e))$ ， $V_{h}$ 是选定的分片多项式函数空间， $\sum$ 是每个e上用于唯一确定 $V_{h}$ 内的多项式函数所需要的条件。