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14.1 跳表

14.2 Trie树

14.3 B树与 B+树

14.4 其他高级数据结构

总结

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数据结构与算法：高级数据结构与实际应用

本章将探讨一些高级数据结构，这些数据结构在提高数据存取效率和解决复杂问题上起到重要作用。这些高级数据结构包括跳表（Skip List）、Trie树、B树与B+树，以及其他具有特殊用途的数据结构。我们将深入了解这些数据结构的原理、实现以及它们在实际系统中的应用场景。

14.1 跳表

跳表是一种随机化的数据结构，通过增加多级索引来提高查找效率。跳表在平均情况下的时间复杂度为 O(log n)，且实现简单，适合并发场景下的高效查找。

特性	跳表（Skip List）
平均复杂度	O(log n)
最坏复杂度	O(n)
空间复杂度	O(n log n)
适用场景	数据库索引、缓存、并发访问

代码示例：跳表的基本实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_LEVEL 3typedef struct Node {int key;struct Node* forward[MAX_LEVEL + 1];
} Node;Node* createNode(int key, int level) {Node* newNode = (Node*)malloc(sizeof(Node));newNode->key = key;for (int i = 0; i <= level; i++) {newNode->forward[i] = NULL;}return newNode;
}int randomLevel() {int level = 0;while (rand() % 2 && level < MAX_LEVEL) {level++;}return level;
}Node* createSkipList() {return createNode(-1, MAX_LEVEL);
}void insert(Node* header, int key) {Node* update[MAX_LEVEL + 1];Node* current = header;for (int i = MAX_LEVEL; i >= 0; i--) {while (current->forward[i] != NULL && current->forward[i]->key < key) {current = current->forward[i];}update[i] = current;}int level = randomLevel();Node* newNode = createNode(key, level);for (int i = 0; i <= level; i++) {newNode->forward[i] = update[i]->forward[i];update[i]->forward[i] = newNode;}
}void display(Node* header) {for (int i = MAX_LEVEL; i >= 0; i--) {Node* node = header->forward[i];printf("Level %d: ", i);while (node != NULL) {printf("%d -> ", node->key);node = node->forward[i];}printf("NULL\n");}
}int main() {Node* header = createSkipList();insert(header, 3);insert(header, 6);insert(header, 7);insert(header, 9);insert(header, 12);display(header);return 0;
}

在上述代码中，展示了跳表的基本插入操作，利用多级指针加速了数据的查找和插入。

14.2 Trie树

Trie树，也称为前缀树，是一种用于高效存储和查找字符串的树状数据结构。Trie树特别适合用于自动补全、字符串匹配等应用场景。

特性	Trie树
查找复杂度	O(m)，其中 m 为键长
空间复杂度	O(n * m)，其中 n 为节点数，m 为键长
适用场景	字符串查找、词典、前缀匹配

代码示例：Trie树的基本实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>#define ALPHABET_SIZE 26typedef struct TrieNode {struct TrieNode* children[ALPHABET_SIZE];bool isEndOfWord;
} TrieNode;TrieNode* createNode() {TrieNode* newNode = (TrieNode*)malloc(sizeof(TrieNode));newNode->isEndOfWord = false;for (int i = 0; i < ALPHABET_SIZE; i++) {newNode->children[i] = NULL;}return newNode;
}void insert(TrieNode* root, const char* key) {TrieNode* current = root;for (int level = 0; key[level] != '\0'; level++) {int index = key[level] - 'a';if (!current->children[index]) {current->children[index] = createNode();}current = current->children[index];}current->isEndOfWord = true;
}bool search(TrieNode* root, const char* key) {TrieNode* current = root;for (int level = 0; key[level] != '\0'; level++) {int index = key[level] - 'a';if (!current->children[index]) {return false;}current = current->children[index];}return current != NULL && current->isEndOfWord;
}int main() {TrieNode* root = createNode();insert(root, "hello");insert(root, "world");printf("查找 'hello': %s\n", search(root, "hello") ? "找到" : "未找到");printf("查找 'trie': %s\n", search(root, "trie") ? "找到" : "未找到");return 0;
}

在此代码中，Trie树用于高效存储字符串，并支持快速的查找操作。

14.3 B树与 B+树

B树和 B+树是常用于数据库和文件系统的平衡树结构，适用于大规模数据的高效存储和检索。

特性	B树	B+树
叶子节点	数据可在所有节点上存储	数据仅存储在叶子节点
查找效率	O(log n)	O(log n)
顺序访问	复杂，需要中序遍历	高效，通过叶子节点链表直接访问
适用场景	数据库索引	文件系统、数据库的范围查找

代码示例：B+树节点的基本结构

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_KEYS 3typedef struct BPlusNode {int keys[MAX_KEYS];struct BPlusNode* children[MAX_KEYS + 1];int numKeys;int isLeaf;struct BPlusNode* next;
} BPlusNode;BPlusNode* createNode(int isLeaf) {BPlusNode* newNode = (BPlusNode*)malloc(sizeof(BPlusNode));newNode->isLeaf = isLeaf;newNode->numKeys = 0;newNode->next = NULL;for (int i = 0; i < MAX_KEYS + 1; i++) {newNode->children[i] = NULL;}return newNode;
}void insertInLeaf(BPlusNode* leaf, int key) {int i;for (i = leaf->numKeys - 1; i >= 0 && leaf->keys[i] > key; i--) {leaf->keys[i + 1] = leaf->keys[i];}leaf->keys[i + 1] = key;leaf->numKeys++;
}void display(BPlusNode* root) {if (root != NULL) {for (int i = 0; i < root->numKeys; i++) {printf("%d ", root->keys[i]);}printf("\n");if (!root->isLeaf) {for (int i = 0; i <= root->numKeys; i++) {display(root->children[i]);}}}
}int main() {BPlusNode* root = createNode(1);insertInLeaf(root, 10);insertInLeaf(root, 20);insertInLeaf(root, 5);display(root);return 0;
}

在这个代码示例中，B+树用于实现高效的数据插入和查找，适合处理大量数据并保持平衡性。

14.4 其他高级数据结构

并查集与其高级应用：并查集是一种用于处理不相交集合的数据结构，适合用于连通性查询，例如网络连接、社交圈查询等。

特性	并查集
查找复杂度	近似 O(1)，路径压缩优化
合并复杂度	近似 O(1)，按秩合并优化
适用场景	连通性查询、网络、社交圈

稀疏表（Sparse Table）与快速查询：稀疏表是一种空间高效的数据结构，主要用于静态数组的区间查询，支持 O(1) 的最小值、最大值等操作。

布隆过滤器与其他概率数据结构：布隆过滤器是一种高效的空间优化结构，用于快速判断某个元素是否存在于集合中，但存在一定的误判率。适用于大规模数据集的查询优化，例如缓存系统。

总结

本章介绍了跳表、Trie树、B树与 B+树等高级数据结构，以及它们在实际系统中的应用。这些数据结构在提高查找效率、优化存储和加速特定任务方面具有不可替代的作用。通过深入理解这些结构及其特性，我们能够选择最合适的数据结构来应对复杂的实际问题。

在下一章中，我们将深入讨论并查集与线段树的高级应用，以及它们在图论和范围查询中的重要作用。