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信号检测理论（Signal Detection Theory, SDT）模拟是一种实验设计，用于研究和理解在存在噪声或不确定性的情况下如何做出决策。在心理学、认知科学、工程学和许多其他领域，信号检测理论都非常重要。

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一、基础概念：

在信号检测理论的模拟中，通常会涉及以下几个关键概念：

信号（Signal）：需要被检测或识别的刺激或信息。
噪声（Noise）：干扰信号检测的背景或无关信息。
决策标准（Decision Criterion）：用于判断信号是否存在的阈值或标准。

击中（Hit）：当信号实际存在且被正确检测到时的情况。
漏报（Miss）：当信号实际存在但未被检测到时的情况。
虚报（False Alarm）：当信号实际上不存在但被错误地检测为存在时的情况。
正确否定（Correct Rejection）：当信号实际上不存在且被正确地判断为不存在时的情况。

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二、统计决策理论：

（1）两个分布的重叠程度决定了被试对信号和噪音的辨别力（感受性）

$d^{\prime }$被称为辨别力指数（灵敏度）。可以有两个分布的均值差来决定。
重叠越多，辨别力指数越小，辨别力越弱。
重叠越少，辨别力指数越大，辨别力越强。

特别地，$d^{\prime }=0$，均值相同，完全重叠（不一定重合），无法辨别。

（2）被试的决策标准决定了其反应倾向：

定义$C$：决策标准
C的右边判断为“有”，左边判断为“无”

定义$\beta$：似然比，可由$\frac{Y（击中）}{Y（虚报）}$得到，一般给出β后，即可通过计算来确定C的位置（大小）。

$\beta >1$ ：严格——被试的判断倾向于“无”
$\beta =1$ ：中等——被试的判断“均等”
$\beta <1$ ：宽松——被试的判断倾向于“有”

（3）ROC曲线

一般也叫等感受曲线，有以下几个特点：

[1]击中率和虚报率呈正相关关系，C增大，二者同时减小；C减小，标准变松，二者同时增大。
[2]击中率不等于虚报率

• 存在3中极端情况：
  （1）击中率=0：C趋近于正无穷
  （2）击中率=1，C趋近于负无穷
  （3）$d^{\prime }=0$：曲线完全重叠，均值相同
  这三种情况意义不大

[3]越往左下，反应标准越严，$\beta$越大，C越大
[4]$d^{\prime }$越大，曲线区分度越大

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三、示例：

下面是一个示例（Julia文件）：

1)
Let’s simulate 2 signal distributions, plot them, and compute d’ and the probabilities of the four outcomes with a specific criterion

using Distributions 
using PlotlyJS# --- Signal Detection Theory Simulation --- 信号检测理论（Signal Detection Theory, SDT）# 1. Parameters
dPrime = 1.5  # Sensitivity (d')，灵敏度（判别力指数）
criterion = 0.8  # Response criterion，判断标准# 2. Distributions
dist_noise = Normal(0, 1)  # Noise distribution 噪声分布
dist_signal = Normal(dPrime, 1)  # Signal + noise distribution 信号+噪声分布# 3. Generate trials
nTrials = 1000
signalPresent = rand(Bernoulli(0.5), nTrials)  # 生成一个布尔数组，每个元素表示一次试验中信号是否出现，50% signal presence
stimuli = signalPresent .* rand(dist_signal, nTrials) + (1 .- signalPresent) .* rand(dist_noise, nTrials)# 4. Apply criterion
responses = stimuli .> criterion # 生成一个布尔值数组responses，大于criterion的为true，否则为false
# 5. Calculate outcomes
hits = sum(responses[signalPresent]) # 击中
misses = sum(.!responses[signalPresent]) # 漏报
falseAlarms = sum(responses[.!signalPresent]) # 虚报
correctRejections = sum(.!responses[.!signalPresent]) # 正确否定# --- Visualization with PlotlyJS ---# Generate data for histograms
noise_data = rand(dist_noise, 10000)
signal_data = rand(dist_signal, 10000)
y = max
# Create the histogram traces
noise_trace = PlotlyJS.histogram(x=noise_data, name="Noise", opacity=0.5)
signal_trace = PlotlyJS.histogram(x=signal_data, name="Signal + Noise", opacity=0.5)# Create the criterion line trace，画判断标准线
criterion_trace = PlotlyJS.scatter(x=[criterion, criterion], y=[0, 600],mode="lines",name="Criterion",line=attr(color="red", dash="dash")
)# Create the plot
plt = PlotlyJS.plot([noise_trace, signal_trace, criterion_trace],Layout(xaxis_title="Internal Response",yaxis_title="Frequency",title="Signal Detection Theory Demonstration",barmode="overlay")
)# Display the plot
display(plt)# Display results
println("d': ", dPrime)
println("Criterion: ", criterion)
println("Hits: ", hits, " (", round(hits / sum(signalPresent) * 100, digits=2), "%)")
println("Misses: ", misses, " (", round(misses / sum(signalPresent) * 100, digits=2), "%)")
println("False Alarms: ", falseAlarms, " (", round(falseAlarms / sum(.!signalPresent) * 100, digits=2), "%)")
println("Correct Rejections: ", correctRejections, " (", round(correctRejections / sum(.!signalPresent) * 100, digits=2), "%)")

画出分布图像：

上图红色虚线就是C，蓝色分布是噪声，红色是信号。

输出：

d': 1.5
Criterion: 0.8
Hits: 369 (73.95%)
Misses: 130 (26.05%)
False Alarms: 89 (17.76%)
Correct Rejections: 412 (82.24%)

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ROC曲线相关：

using Distributions
using PlotlyJS# --- Signal Detection Theory Simulation (Multiple d') --- 多个d'的信号检测理论模拟# 1. Parameters
dPrimes = [0.5, 1.0, 1.5, 2.0]  # Range of sensitivities
criteria = range(-3, 3, length=100)  # Range of criteria for ROC ，C变化范围# 2. Distributions
dist_noise = Normal(0, 1)  # Noise distribution 噪声分布# --- ROC Analysis and Visualization ---
# 准备一个ROC曲线图的布局，为后续添加具体的ROC曲线数据做准备。
plt = PlotlyJS.plot(Layout(xaxis_title="False Alarm Rate",yaxis_title="Hit Rate",title="ROC Curves for Different d'",xaxis_range=[0, 1],yaxis_range=[0, 1],xaxis_constrain="domain",  # Ensure the x-axis stays within the plot areayaxis=attr(scaleanchor="x",  # Link y-axis scaling to x-axisscaleratio=1),    # Maintain 1:1 aspect ratio))# Add diagonal reference line
PlotlyJS.add_trace!(plt, PlotlyJS.scatter(x=[0, 1], y=[0, 1], mode="lines", line=attr(color="gray", dash="dash"), name="Chance Level"))for dPrime in dPrimes# 根据不同的d'生成不同的信号分布。因为噪声分布固定，所以d'的大小决定了信号分布的位置。dist_signal = Normal(dPrime, 1)  # Signal + noise distribution 信号+噪声分布# 3. Generate trials (for each d')nTrials = 1000signalPresent = rand(Bernoulli(0.5), nTrials)stimuli = signalPresent .* rand(dist_signal, nTrials) + (1 .- signalPresent) .* rand(dist_noise, nTrials)# 4. ROC CalculationhitRates = zeros(length(criteria))falseAlarmRates = zeros(length(criteria))for (i, criterion) in enumerate(criteria)responses = stimuli .> criterionhits = sum(responses[signalPresent])falseAlarms = sum(responses[.!signalPresent])hitRates[i] = hits / sum(signalPresent)falseAlarmRates[i] = falseAlarms / sum(.!signalPresent)end# 5. Add ROC Curve to PlotPlotlyJS.add_trace!(plt, PlotlyJS.scatter(x=falseAlarmRates, y=hitRates, mode="lines", name="d' = $dPrime"))
end# Display the plot
display(plt)

画出ROC曲线：

可以发现随$d^{\prime }$增大图像越往上

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思考：

上面四个率和机器学习中的性能评估指标有相似之处：