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1. 高频噪声传递函数分析

（1）电路结构

• 输入信号通过 $R_1$ 和 $C_{\text{NI}}$ 的并联组合连接到运放的同相输入端。
• 反馈电阻 $R_2$ 连接在运放的输出端和反相输入端之间。

• 参照运算放大器噪声增益和信号增益,等效输入噪声源（$V_{NI}$）的增益为$A_{NI}=\frac{R_1+R_2}{R_1}$

R 1 + R 2 R 1 = R 2 + { R 1 / / C N I } { R 1 / / C N I } = R 2 + R 1 / / 1 j ω C N I R 1 / / 1 j ω C N I \frac{R_1+R_2}{R_1}=\frac{R_2+\{R_1//C_{NI}\}}{\{R_1//C_{NI}\}}=\frac{R_2+R_1//\frac{1}{j\omega C_{NI}}}{R_1//\frac{1}{j\omega C_{NI}}} R1​R1​+R2​​={R1​//CNI​}R2​+{R1​//CNI​}​=R1​//jωCNI​1​R2​+R1​//jωCNI​1​​

（2）输入阻抗和反馈阻抗

• 输入阻抗 $Z_{\text{in}}$ 是 $R_1$ 和 $C_{\text{NI}}$ 的并联组合：
  $$R_1//\frac{1}{j\omega C_{\text{NI}}}=\frac{R_1\cdot \frac{1}{j\omega C_{\text{NI}}}}{R_1+\frac{1}{j\omega C_{\text{NI}}}}=\frac{R_1}{1+j\omega R_1{C}_{\text{NI}}}$$

• 反馈阻抗 $Z_f$ 是 $R_2$。

• 系统的传递函数 $H(j\omega )$ 是噪声增益 $A_{\text{NI}}$ 的表达式：

$$A_{\text{NI}}=1+\frac{R_2}{R_1}+j\omega R_2{C}_{\text{NI}}$$

$$H(j\omega )=\underset{\text{实部}}{\underbrace{1+\frac{R_2}{R_1}}}+\underset{\text{虚部}}{\underbrace{j\omega R_2{C}_{\text{NI}}}}$$

（3）幅频特性（重要）

• 传递函数的幅值 $|H(j\omega )|$ 为：
  $$|H(j\omega )|=\sqrt{{\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)}^2+(\omega R_2{C}_{\text{NI}}{)}^2}$$
• 低频时，幅值接近 $1+\frac{R_2}{R_1}$。
• 高频时，幅值随频率线性增加，表现为高通滤波器的特性。

（4）相频特性

• 传递函数的相位 $\varphi (\omega )$ 为：
  $$\varphi (\omega )={\tan }^{-1}\left(\frac{\omega R_2{C}_{\text{NI}}}{1+\frac{R_2}{R_1}}\right)$$

• 低频时，相位接近 0°。

• 高频时，相位接近 90°，电路引入了相位延迟。

• 高频噪声的放大可能导致运放的相位裕度降低，引发自激振荡。

2. 优化

（1）降低高频噪声增益

• 减小 $R_2$ 或 $C_{\text{NI}}$ 可以降低高频噪声的放大效应。
• 在反馈路径中添加一个小电容，与 $R_2$ 并联，形成低通滤波器，抑制高频噪声。

（2）优化 PCB 布局

• 缩短输入信号走线，减少寄生电容 $C_{\text{NI}}$。
• 对敏感信号线进行屏蔽处理，防止外部高频噪声耦合到输入端。

（3）选择低噪声运放

• 选择具有较低输入噪声和较高带宽的运放，以减小高频噪声的影响。

（4）添加补偿电容$C_F$

• 在反馈路径中添加一个小电容，与反馈电阻并联，形成低通滤波器，抑制高频噪声。

R 1 + R 2 R 1 = { R 1 / / C N I } + { R 2 / / C F } { R 1 / / C N I } = R 1 / / 1 j ω C N I + R 2 / / 1 j ω C F R 1 / / 1 j ω C N I \frac{R_1+R_2}{R_1}=\frac{\{R_1//C_{NI}\}+\{R_2//C_F\}}{\{R_1//C_{NI}\}}=\frac{R_1//\frac{1}{j\omega C_{NI}}+R_2//\frac{1}{j\omega C_{F}}}{R_1//\frac{1}{j\omega C_{NI}}} R1​R1​+R2​​={R1​//CNI​}{R1​//CNI​}+{R2​//CF​}​=R1​//jωCNI​1​R1​//jωCNI​1​+R2​//jωCF​1​​

$$H(j\omega )=1+\frac{\frac{R_2}{1+j\omega R_2{C}_{\text{F}}}}{\frac{R_1}{1+j\omega R_1{C}_{\text{NI}}}}=1+\frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1+j\omega R_1{C}_{\text{NI}}}{1+j\omega R_2{C}_{\text{F}}}$$

• 幅频特性分析 $|H(j\omega )|$ :

$$|H(j\omega )|=\left|1+\frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{1+j\omega R_1{C}_{\text{NI}}}{1+j\omega R_2{C}_{\text{F}}}\right|$$

为了计算 $|H(j\omega )|$，我们可以分别计算分子和分母的幅值。

• 分子的幅值：
  $$|1+j\omega R_1{C}_{\text{NI}}|=\sqrt{1+(\omega R_1{C}_{\text{NI}}{)}^2}$$

• 分母的幅值：
  $$|1+j\omega R_2{C}_{\text{F}}|=\sqrt{1+(\omega R_2{C}_{\text{F}}{)}^2}$$

因此，传递函数的幅值为：

$$|H(j\omega )|=\left|1+\frac{R_2}{R_1}\cdot \frac{\sqrt{1+(\omega R_1{C}_{\text{NI}}{)}^2}}{\sqrt{1+(\omega R_2{C}_{\text{F}}{)}^2}}\right|$$

• 低频特性（$\omega \to 0$）
  当频率 $\omega$ 很低时,幅值为：
  $$|H(j\omega )|\approx 1+\frac{R_2}{R_1}$$

• 高频特性（$\omega \to \infty$）
  当频率 $\omega$ 很高时,$\omega R_1{C}_{\text{NI}}\gg 1$，$\omega R_2{C}_{\text{F}}\gg 1$,幅值为：
  $$|H(j\omega )|\approx 1+\frac{C_{\text{NI}}}{C_{\text{F}}}(这时高频噪声增益固定了)$$